Question

6．2013年12月15日4時(shí)35分，嫦娥三號(hào)探測(cè)器順利登陸月面，這一事件極大地提高了同學(xué)們對(duì)月球的探索興趣．若已知月球的質(zhì)量為M，半徑為R，萬有引力常量為G，以下是某同學(xué)設(shè)想的兩問題，請(qǐng)你幫他解答．
（1）若在月球上發(fā)射一顆繞它運(yùn)行的衛(wèi)星，則發(fā)射衛(wèi)星的最小速度v是多少；
（2）若人在月球上蕩秋千（不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)，秋千的擺角小于90°），在最低點(diǎn)位置給秋千和人一個(gè)大小為v₀的初速度，人能上升的最大高度h為多少？

Answer 1

分析 （1）由萬有引力提供向心力可確定出月球的第一宇宙速度．
（2）由萬有引力提供向心力可得出重力加速度，由機(jī)械能守恒確定出人能上升的最大高度．

解答 解：（1）由萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$ 
得第一宇宙速度：$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$．
（2）由萬有引力等于重力得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$  
對(duì)于人由機(jī)械能守恒：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$ 
得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{2GM}$
答：1）若在月球上發(fā)射一顆繞它運(yùn)行的衛(wèi)星，則發(fā)射衛(wèi)星的最小速度v是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）人能上升的最大高度h為得：h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$=$\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{2GM}$

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于天體問題明確萬有引力提供向心力是求解問題的關(guān)鍵，在表面萬有引力等于重力．