Question

18．如圖所示，一質(zhì)量為M=2m的帶有弧形軌道的平臺置于足夠長的水平軌道上，弧形軌道與水平軌道平滑連接，但不固定水平軌道上靜置一小球B．從弧形軌道上距離水平軌道h高處由靜止釋放一質(zhì)量m_A=m的小球A，小球A沿軌道下滑后與小球B發(fā)生彈性正碰，碰后小球A被彈回，且恰好追不上平臺．已知所有接觸面均光滑，重力加速度為g．求：
（1）小球B的質(zhì)量；（用m表示）
（2）碰撞過程中小球A對小球B所做的功；（用m、h、g表示）
（3）碰撞過程中小球A對小球B的沖量．（用m、h、g表示）

Answer 1

分析 （1）小球在圓弧軌道上運動的過程中，二者組成的系統(tǒng)水平方向的動量守恒，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，小球A、B碰撞過程動量守恒、能量守恒，聯(lián)立即可求出B的質(zhì)量；
（2）以小球B為對象，由動能定理可求解A對小球B所做的功；
（3）以小球B為對象，由動量定理可求解A對小球B的沖量．

解答 解：（1）設(shè)小球A下滑到水平軌道上時的速度大小為v₁，平臺的水平速度大小為v，以小球A和平臺為系統(tǒng)，由于系統(tǒng)在水平方向上不受外力作用，因此系統(tǒng)在水平方向上動量守恒：0=m_Av₁-Mv
由機(jī)械能守恒定律有：${m}_{A}gh=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}^{2}$
聯(lián)立解得：${v}_{1}=\frac{2}{3}\sqrt{3gh}，\\;v=\frac{1}{3}\sqrt{3gh}$$v=\frac{1}{3}\sqrt{3gh}$
小球A、B碰撞后運動方向相反，設(shè)小球A、B碰撞后速度大小分別為v_A、v_B，則：
m_Av₁=m_A（-v_A）+m_Bv_B
能量守恒：$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
由題意可知，小球A恰好追不上平臺，即：${v}_{A}=v=\frac{1}{3}\sqrt{3gh}$
聯(lián)立解得：m_B=3m，${v}_{B}=\frac{1}{3}\sqrt{3gh}$
（2）以小球B為對象，由動能定理有：$W=\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}-0=\frac{1}{2}mgh$
（3）以小球B為對象，以水平向右為正方向，由動量定理有：
$I={m}_{B}{v}_{B}-0=m\sqrt{3gh}$，方向水平向右
答：（1）小球B的質(zhì)量為3m；
（2）碰撞過程中小球A對小球B所做的功為$\frac{1}{2}mgh$；
（3）碰撞過程中小球A對小球B的沖量大小為$m\sqrt{3gh}$，方向水平向右．

點評 該題考查動量守恒、能量守恒定律的綜合應(yīng)用，要注意在分析問題時，正確選擇研究對象系統(tǒng)，明確動量守恒的條件及應(yīng)用．