Question

6．如圖一輛汽車(chē)行駛在半徑為R=50m的水平彎道上，汽車(chē)質(zhì)量m=10³kg．汽車(chē)輪胎與干燥地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.7，與濕滑路面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.4．

問(wèn)：（1）分別求出在兩種不同的水平彎道路面中，要使汽車(chē)不打滑，速率最大值v₁，v₂為多少？
（2）若設(shè)計(jì)成外高內(nèi)低的彎道路面，如圖所示，要求以v₀=7m/s的速率行駛的情況下，汽車(chē)恰好與路面無(wú)側(cè)向摩擦力．求路面的傾角正切值tanθ．
（3）若在（2）中設(shè)計(jì)的外高內(nèi)低的彎道上，汽車(chē)以v₃=10m/s的速率轉(zhuǎn)彎，試估算一下汽車(chē)與路面的側(cè)向摩擦力為多大？（重力加速度g 取9.8m/s²，取最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，當(dāng)θ很小的時(shí)候，sinθ≈tanθ，cosθ≈1）

Answer 1

分析 （1）為使汽車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)不打滑，汽車(chē)所受的靜摩擦力不超過(guò)最大靜摩擦力，當(dāng)行駛的最大速度時(shí)，靜摩擦力恰好達(dá)到最大值，根據(jù)牛頓第二定律求解．
（2）若設(shè)計(jì)成外高內(nèi)低的彎道路面，汽車(chē)恰好與路面無(wú)側(cè)向摩擦力，由重力與支持力提供向心力，根據(jù)向心力公式求解；
（3）有側(cè)向摩擦力時(shí)，重力、支持力、摩擦力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式求解．

解答 解：（1）汽車(chē)轉(zhuǎn)彎時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)，靜摩擦力提供向心力，當(dāng)靜摩擦力恰好達(dá)到最大值，速度最大，則有：
${μ}_{1}mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{{μ}_{1}gR}=\sqrt{350}=5\sqrt{14}m/s$，
同理在濕滑路面轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大速度${v}_{2}=\sqrt{{μ}_{2}gR}=\sqrt{4×50}=10\sqrt{2}m/s$，
（2）若設(shè)計(jì)成外高內(nèi)低的彎道路面，汽車(chē)恰好與路面無(wú)側(cè)向摩擦力，由重力與支持力提供向心力，則有：
mgtan$θ=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：tan$θ=\frac{49}{500}$=0.098
（3）設(shè)汽車(chē)以v₃=10m/s的速率轉(zhuǎn)彎時(shí)，側(cè)向摩擦力為f，則有：
$mgtanθ+fsinθ=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{R}$
解得：f=1020N
答：（1）要使汽車(chē)不打滑，速率最大值v₁，v₂分別為$5\sqrt{14}m/s$，$10\sqrt{2}m/s$；
（2）路面的傾角正切值tanθ為0.098；
（3）汽車(chē)與路面的側(cè)向摩擦力為1020N．

點(diǎn)評(píng) 熟記摩擦力公式和向心力公式是解決本題的關(guān)鍵，弄清向心力是由哪些力提供的，通常這樣找向心力：沿半徑方向的所有力的合力提供該物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．