Question

14．如圖甲，兩足夠長的平行光滑金屬導(dǎo)軌ab、cd傾斜放置，兩導(dǎo)軌之間的距離為L=0.5m，導(dǎo)軌平面與水平面間的夾角為θ=30°，導(dǎo)軌上端a、c之間連接有一阻值為R₁=4Ω的電阻，下端b、d之間接有一阻值為R₂=4Ω的小燈泡．有理想邊界的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面向上，虛線ef為磁場的上邊界，ij為磁場的下邊界，此區(qū)域內(nèi)的感應(yīng)強(qiáng)度B，隨時(shí)間t變化的規(guī)律如圖乙所示，現(xiàn)將一質(zhì)量為m=1kg的金屬棒MN，從距離磁場上邊界ef的一定距離處，從t=0時(shí)刻開始由靜止釋放，金屬棒MN從開始運(yùn)動(dòng)到經(jīng)過磁場的下邊界ij的過程中，小燈泡的亮度始終不變．金屬棒MN在兩軌道間的電阻r=1Ω，其余部分的電阻忽略不計(jì)，ef、ij邊界均垂直于兩導(dǎo)軌．重力加速度g=10m/s²．求_：
（l）小燈泡的實(shí)際功率；
（2）金屬棒MN穿出磁場前的最大速率；
（3）整個(gè)過程中小燈泡產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）由題先分析金屬棒MN：由圖知，磁感應(yīng)強(qiáng)度B先均勻增大后不變，而小燈泡的亮度始終不變，說明金屬棒MN進(jìn)入磁場后作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大，由平衡條件列式，可求得通過MN棒的電流，即可得到小燈泡的電流，由功率公式P=I²R求解小燈泡的實(shí)際功率．
（2）金屬棒MN進(jìn)入磁場后作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)到最大．根據(jù)閉合電路歐姆定律可求得感應(yīng)電動(dòng)勢，再由感應(yīng)電動(dòng)勢公式 E=BLv求解金屬棒MN穿出磁場前的最大速率；
（3）金屬棒進(jìn)入磁場前，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求出棒勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；運(yùn)用法拉第電磁感應(yīng)定律求出磁場區(qū)域的長度，求出棒MN通過磁場區(qū)域的時(shí)間，即可根據(jù)燈泡的功率不變，求出產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）由于小燈泡的亮度始終不變，說明金屬棒MN進(jìn)入磁場后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度v達(dá)到最大，由平衡條件得：mgsinθ=BIL
小燈泡的電功率為：P=$（\frac{I}{2}）^{2}{R}_{2}$
代入數(shù)據(jù)，解得：P=25 W
（2）由閉合電路歐姆定律，則有：I=$\frac{E}{R}$，其中，總電阻為R=$\frac{{R}_{1}}{2}+r$
由切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢公式得，E=BLv，
聯(lián)立上式，代入數(shù)據(jù)，解得：v=15m/s；
（3）金屬棒進(jìn)入磁場前，由牛頓第二定律可得，mgsinθ=ma
加速度為a=gsin30°=5m/s²；
進(jìn)入磁場前所用的時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{v}{a}$；
設(shè)磁場區(qū)域的長度為x，在0～t₁時(shí)間內(nèi)，
由法拉第電磁感應(yīng)定律，則有：
$E′=\frac{△∅}{△t}=\frac{LxB}{{t}_{1}}$
金屬棒MN進(jìn)入磁場前，總電阻為：R=$\frac{{R}_{1}r}{{R}_{1}+r}+{R}_{2}$
感應(yīng)電動(dòng)勢為：E′=$\frac{I}{2}R$
在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{x}{v}$；
整個(gè)過程中產(chǎn)生的熱量為：Q=P（t₁+t₂）
代入數(shù)據(jù)，解得：Q=135J；
答：（l）小燈泡的實(shí)際功率25W；
（2）金屬棒MN穿出磁場前的最大速率15m/s；
（3）整個(gè)過程中小燈泡產(chǎn)生的熱量135J．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵要能判斷出棒MN的運(yùn)動(dòng)情況，再運(yùn)用電路知識(shí)、電磁感應(yīng)和力學(xué)知識(shí)，分析求解．