Question

17．如圖所示，將傾角θ=30°，表面粗糙的斜面固定在地面上，用一根輕質(zhì)細(xì)繩跨過兩個(gè)光滑的半徑很小的滑輪連接甲、乙兩物體（均可視為質(zhì)點(diǎn)），把甲物體放在斜面上且細(xì)繩與斜面平行，把乙物體懸在空中，并使細(xì)繩拉直且偏離豎直方向α=60°．開始時(shí)甲、乙均靜止．現(xiàn)同時(shí)釋放甲、乙兩物體，乙物體將在豎直平面內(nèi)往返運(yùn)動(dòng)，測得繩長OA為L=0.5m，當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)經(jīng)過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)時(shí)，甲物體在斜面上均恰好未滑動(dòng)，已知乙物體的質(zhì)量為 m=1kg，忽略空氣阻力，取重力加速度g=10m/s²，求：甲物體的質(zhì)量以及斜面對甲物體的最大靜摩擦力的大小．

Answer 1

分析 根據(jù)動(dòng)能定理求出乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的速度，乙到達(dá)在最低點(diǎn)時(shí)，由拉力和重力的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．由牛頓第二定律求出繩子的拉力．乙物體擺到最低點(diǎn)時(shí)拉力最大，擺到最高點(diǎn)時(shí)拉力最下，知乙物體擺到最低點(diǎn)時(shí)，甲物體達(dá)到向下的最大靜摩擦力，擺到最高點(diǎn)時(shí)，甲物體有向上的最大靜摩擦力．分別求出乙物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)繩子的拉力，然后對甲物體列出平衡方程，解出甲物體的質(zhì)量和最大靜摩擦力大小．

解答 解：當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩子上的拉力最大，設(shè)為F₁，對乙物體，根據(jù)動(dòng)能定理得：
mgL（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²
解得乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度為：v=$\sqrt{5}$m/s
又由牛頓第二定律得：F₁-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$
解得，乙物體運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)所受的拉力為：F₁=20N
當(dāng)乙物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，繩子上的拉力最小，設(shè)為F₂，沿繩子方向力平衡，則有：F₂=mgcosα=5N．
此時(shí)甲物體恰好不下滑，有：F₂+f_m=m_甲gsinθ
乙物體到最低點(diǎn)時(shí)，甲物體恰好不上滑，則有：F₁=f_m+m_甲gsinθ
聯(lián)立解得：斜面對甲物體的最大靜摩擦力為：f_m=7.5N，甲物體的質(zhì)量為：m_甲=2.5kg
答：甲物體的質(zhì)量是2.5kg，斜面對甲物體的最大靜摩擦力是7.5N．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道乙物體擺到最低點(diǎn)時(shí)有最大拉力，擺到最高點(diǎn)時(shí)有最小拉力．以及知道在乙物體擺到最低點(diǎn)時(shí)有沿斜面向下的最大靜摩擦力，擺到最高點(diǎn)時(shí)有沿斜面向上的最大靜摩擦力．