Question

9．一密度為ρ₁的塑料小球，自液面上方h處自由下落到密度為ρ₂的液體中（ρ₁＜ρ₂），若液體足夠深，求小球在液面下能達到的最大深度和小球在液面下的運動時間．

Answer 1

分析 對整個過程，運用動能定理，可求小球在液面下能達到的最大深度．由動能定理求出最大速度，再根據(jù)位移等于平均速度乘以時間，求解時間．

解答 解：設小球在液面下能達到的最大深度為d，最大速度為v．設小球的體積為V．對整個過程，由動能定理得：
ρ₁Vg（h+d）-ρ₂Vgd=0
可得：d=$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}-{ρ}_{1}}$h
對于自由下落過程，有：v=$\sqrt{2gh}$
設小球在液面下的運動總時間為t．
由于小球自由下落和在液體中勻減速過程的平均速度均為$\frac{v}{2}$，則 h+d=$\frac{v}{2}$t
解得：t=$\frac{{ρ}_{2}}{{ρ}_{1}-{ρ}_{2}}$$\sqrt{\frac{h}{2g}}$
故小球在液面下的運動時間為：t′=t-$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{{ρ}_{2}}{{ρ}_{1}-{ρ}_{2}}$$\sqrt{\frac{h}{2g}}$-$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
答：小球在液面下能達到的最大深度為$\frac{{ρ}_{1}}{{ρ}_{2}-{ρ}_{1}}$h，小球在液面下的運動時間為$\frac{{ρ}_{2}}{{ρ}_{1}-{ρ}_{2}}$$\sqrt{\frac{h}{2g}}$-$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．

點評 本題是多過程問題，運用動能定理時要靈活選擇研究的過程，運用分段法和全程法結合比較簡潔．