Question

6．如圖所示，天文學(xué)家觀測(cè)哈雷慧星的周期是75年，離太陽(yáng)最近的距離是8.9×10¹⁰m，它離太陽(yáng)的最遠(yuǎn)距離不能被測(cè)出．若太陽(yáng)的質(zhì)量M=2.0×10³⁰kg，試計(jì)算哈雷慧星的最小加速度與最大加速度的比值．（太陽(yáng)系中，$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k的k可取3.354×10¹⁸m³/s²）

Answer 1

分析 比較地球與彗星，由開(kāi)普勒第三定律$\frac{a^3}{T^2}=k$求得半長(zhǎng)軸，而半長(zhǎng)軸的二倍等于最遠(yuǎn)距離加最近距離，可求得最遠(yuǎn)距離；最后根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得到哈雷慧星的最小加速度與最大加速度的比值．

解答 解：設(shè)彗星離太陽(yáng)的最近距離為l₁，最遠(yuǎn)距離為l₂，則軌道半長(zhǎng)軸為：
$a=\frac{{{l_1}+{l_2}}}{2}$-----①
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有：
$\frac{a^3}{T^2}=k$------②
則由①②求得：②彗星離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的距離是：${l_2}=\root{3}{{8K{T_2}}}-{l_1}$；
代入數(shù)據(jù)得：${l_2}=5.225×1{0^{12}}m$；
萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$
解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$∝$\frac{1}{{r}^{2}}$
故最小加速度與最大加速度的比值：
$\frac{{a}_{小}}{{a}_{大}}$=$\frac{{l}_{1}^{2}}{{l}_{2}^{2}}$=$（\frac{8.9×1{0}^{10}}{5.225×1{0}^{12}}）^{2}$=2.9×10^-4
答：哈雷慧星的最小加速度與最大加速度的比值為2.9×10^-4．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及橢圓軌道，要采用開(kāi)普勒定律分析，同時(shí)要結(jié)合牛頓第二定律判斷加速度情況，不難．