Question

11．如圖所示，質量為m₁=10m的天車靜止在光滑水平軌道上，下面用長為L的細線懸掛著質量為m₂=9m的沙箱，一顆質量為m₀=m的子彈以v₀的水平速度射入沙箱，并留在其中，在以后的運動過程中（設最大高度不超過水平軌道），求：
（1）沙箱上升的最大高度； 
（2）天車的最大速度．

Answer 1

分析 （1）子彈打入沙箱的過程中系統(tǒng)動量守恒，根據動量守恒定律列式，求出子彈擊中沙箱后的速度．在水箱向上擺動過程中，子彈、沙箱、天車系統(tǒng)水平方向動量守恒，機械能守恒．沙箱到達最大高度時系統(tǒng)有相同的速度，根據動量守恒定律和機械能守恒定律列式，聯立方程即可求解；
（2）子彈和沙箱再擺回最低點時，天車速度最大，根據動量守恒定律和機械能守恒定律列式，聯立方程即可求解．

解答 解：（1）子彈打入沙箱過程中動量守恒，取水平向右為正方向，根據動量守恒定律得：
  m₀v₀=（m₀+m₂）v₁ ①
擺動過程中，子彈、沙箱、天車系統(tǒng)水平方向動量守恒，機械能守恒．
沙箱到達最大高度時系統(tǒng)有相同的速度，設為v₂，則根據動量守恒定律有：
（m₀+m₂）v₁=（m₀+m₁+m₂）v₂ ②
由系統(tǒng)的機械能守恒得 $\frac{1}{2}$（m₀+m₂）v₁²=$\frac{1}{2}$（m₀+m₁+m₂）v₂²+（m₀+m₂）gh  ③
聯立①②③可得 h=$\frac{{v}_{0}^{2}}{400g}$
（2）子彈和沙箱再擺回最低點時，天車速度最大，設此時天車速度為v₃，沙箱速度為v₄
由動量守恒得：
（m₀+m₂）v₁=m₁v₃+（m₀+m₂）v₄ ④
由系統(tǒng)機械能守恒得 $\frac{1}{2}$（m₀+m₂）v₁²=$\frac{1}{2}$m₁v₃²+$\frac{1}{2}$（m₀+m₂）v₄² ⑤
聯立④⑤求解得天車的最大速度為
  v₃=$\frac{1}{10}$v₀．
答：
（1）沙箱上升的最大高度為$\frac{{v}_{0}^{2}}{400g}$；
（2）天車的最大速度是$\frac{1}{10}$v₀．

點評 本題考查了動量守恒定律的應用，分析清楚物體運動過程，抓住隱含的臨界條件：沙箱上升到最大高度時系統(tǒng)的速度相同，應用動量守恒定律與能量守恒定律即可正確解題，解題時要注意研究對象與運動過程的選擇．