1.如圖所示,AB是固定于豎直平面內(nèi)的$\frac{1}{4}$圓弧形光滑軌道,末端B處的切線方向水平.一物體(可視為質(zhì)點)P從圓弧最高點A處由靜止釋放,滑到B端飛出,落到地面上的C點.測得C點和B點的水平距離OC=L,B點距地面的高度OB=h.現(xiàn)在軌道下方緊貼B端安裝一個水平傳送帶,傳送帶的右端與B點的距離為$\frac{L}{2}$.當傳送帶靜止時,讓物體P從A處由靜止釋放,物體P沿軌道滑過B點后又在傳送帶上滑行并從傳送帶的右端水平飛出,仍然落到地面上的C點.求:
(1)物體P與傳送帶之間的動摩擦因數(shù);
(2)若在A處給物體P一個豎直向下的初速度v0,物體P從傳送帶的右端水平飛出后,落在地面上的D點,求OD的大小;
(3)若傳送帶驅(qū)動輪順時針轉(zhuǎn)動,帶動傳送帶以速度v勻速運動,再把物體P從A處由靜止釋放,物體P落到地面上.設著地點與O點的距離為x,求出x與傳送帶上表面速度v的函數(shù)關(guān)系.

分析 (1)先研究無傳送帶的情況:物體從B運動到C,做平拋運動,已知h和L,由平拋運動的規(guī)律求得物體在B點的速度vB,再研究有傳送帶的情況:由平拋運動的規(guī)律求出物體離開傳送帶時的速度v1,根據(jù)動能定理求得摩擦因數(shù)μ.
(2)根據(jù)動能定理研究物體離開傳送帶時的速度,由平拋運動的知識求得OD.
(3)通過物體P滑到底端的速度與傳送帶的速度進行比較,判斷物體P在傳送帶上的運動情況,得出物體離開傳送帶的速度,根據(jù)平拋運動的知識求出水平位移.

解答 解:(1)無傳送帶時,物體從B運動到C,做平拋運動,設物體在B點的速度為vB,
由L=vBt;
h=$\frac{1}{2}$gt2,
解得:vB=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
當有傳送帶時,設物體離開傳送帶時的速度為v1,由平拋規(guī)律:
$\frac{L}{2}$=v1t
h=$\frac{1}{2}$gt2
解得:v1=L$\sqrt{\frac{g}{8h}}$;
由此可知物體滑上傳送帶時的初速度為vB,末速度為v1,物體的位移為$\frac{L}{2}$,此過程中只有傳送帶的摩擦力對物體做功,故根據(jù)動能定理有:
-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入vB和v1可解得:
μ=$\frac{3L}{8h}$;
(2)設物體離開傳送帶時的速度為v2,物體從A滑到離開傳送帶的過程中,只有重力和傳送帶的摩擦力對物體做功,由動能定理有:
mgR-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
又物體從A滑至B的過程中有:
mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
所以有:
$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{3L}{8h}$×mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
又vB=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
可解得:v2=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}+{v}_{0}^{2}}$
物體離開傳送帶后做平拋運動,由題意根據(jù)平拋可知
OD=$\frac{L}{2}$+v2t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}+{v}_{0}^{2}}$$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{{L}^{2}}{4}+\frac{2h{v}_{0}^{2}}{g}}$;
(3)物體由靜止從P點開始下滑,到達B點的速度:
vB=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$,
當物體滑上傳送帶全程加速時,物體滑離傳送帶時的速度v2,根據(jù)動能定理有:
加速時摩擦力做正功,故有:
μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入數(shù)值可得:
v2=$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$
所以當傳送帶的速度v>$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$,物體離開傳送帶的速度v>$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$,由題意根據(jù)平拋運動知識可知:
x=$\frac{L}{2}$+v2t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{{L}^{2}+\frac{3}{4}{L}^{2}}$=$\frac{L}{2}$(1+$\sqrt{7}$)
同理有當物體由靜止從P點開始下滑,達到B點的速度vB=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$,當物體滑上傳送帶并在全程在摩擦力作用下做減速運動時,物體滑離傳送帶的時的速度為v1,根據(jù)動能定理有:
減速時摩擦力做負功,故有:-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入相應數(shù)值可解得:v1=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$
所以當傳送帶速度小于v<$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$時,物體滑離傳送帶時的速度v1=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$
所以可知;x=$\frac{L}{2}$+v1t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=L
當傳送帶的速度滿足:v1≤v≤v2時,物體在摩擦力作用下離開傳送帶時的速度大小都為v,
故此時x=$\frac{L}{2}$+v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答:(1)物體P與傳送帶之間的摩擦因數(shù)μ=$\frac{3L}{8h}$;
(2)若在A處給物體P一個豎直向下的初速度,物體P從傳送帶的右端水平飛出后,落到地面上的D點,OD的大小為$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{{L}^{2}}{4}+\frac{2h{v}_{0}^{2}}{g}}$;
(3)若驅(qū)動輪轉(zhuǎn)動、帶動傳送帶以速度v勻速運動,再把物體P從A處由靜止釋放,物體P落到地面上,設著地點與O點的距離為x,x與傳送帶上表面速度v的函數(shù)關(guān)系為:
1、x=L時,v<$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$;
2、x=$\frac{L}{2}$+v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$時,$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$≤v≤$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$;
3、x=$\frac{L}{2}$(1+$\sqrt{7}$)時,v>$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$.

點評 本題是機械能守恒、平拋運動,動能定理的綜合應用,要具有分析物體運動過程的能力,能分情況全面分析物體的運動情況,要抓住平拋運動的時間由高度決定這一知識點.本題較難,易犯考慮不全面的錯誤.

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