Question

1．如圖所示，AB是固定于豎直平面內(nèi)的$\frac{1}{4}$圓弧形光滑軌道，末端B處的切線方向水平．一物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）P從圓弧最高點(diǎn)A處由靜止釋放，滑到B端飛出，落到地面上的C點(diǎn)．測得C點(diǎn)和B點(diǎn)的水平距離OC=L，B點(diǎn)距地面的高度OB=h．現(xiàn)在軌道下方緊貼B端安裝一個(gè)水平傳送帶，傳送帶的右端與B點(diǎn)的距離為$\frac{L}{2}$．當(dāng)傳送帶靜止時(shí)，讓物體P從A處由靜止釋放，物體P沿軌道滑過B點(diǎn)后又在傳送帶上滑行并從傳送帶的右端水平飛出，仍然落到地面上的C點(diǎn)．求：
（1）物體P與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)；
（2）若在A處給物體P一個(gè)豎直向下的初速度v₀，物體P從傳送帶的右端水平飛出后，落在地面上的D點(diǎn)，求OD的大小；
（3）若傳送帶驅(qū)動輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動，帶動傳送帶以速度v勻速運(yùn)動，再把物體P從A處由靜止釋放，物體P落到地面上．設(shè)著地點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為x，求出x與傳送帶上表面速度v的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先研究無傳送帶的情況：物體從B運(yùn)動到C，做平拋運(yùn)動，已知h和L，由平拋運(yùn)動的規(guī)律求得物體在B點(diǎn)的速度v_B，再研究有傳送帶的情況：由平拋運(yùn)動的規(guī)律求出物體離開傳送帶時(shí)的速度v₁，根據(jù)動能定理求得摩擦因數(shù)μ．
（2）根據(jù)動能定理研究物體離開傳送帶時(shí)的速度，由平拋運(yùn)動的知識求得OD．
（3）通過物體P滑到底端的速度與傳送帶的速度進(jìn)行比較，判斷物體P在傳送帶上的運(yùn)動情況，得出物體離開傳送帶的速度，根據(jù)平拋運(yùn)動的知識求出水平位移．

解答 解：（1）無傳送帶時(shí)，物體從B運(yùn)動到C，做平拋運(yùn)動，設(shè)物體在B點(diǎn)的速度為v_B，
由L=v_Bt；
h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：v_B=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
當(dāng)有傳送帶時(shí)，設(shè)物體離開傳送帶時(shí)的速度為v₁，由平拋規(guī)律：
$\frac{L}{2}$=v₁t
h=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v₁=L$\sqrt{\frac{g}{8h}}$；
由此可知物體滑上傳送帶時(shí)的初速度為v_B，末速度為v₁，物體的位移為$\frac{L}{2}$，此過程中只有傳送帶的摩擦力對物體做功，故根據(jù)動能定理有：
-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入v_B和v₁可解得：
μ=$\frac{3L}{8h}$；
（2）設(shè)物體離開傳送帶時(shí)的速度為v₂，物體從A滑到離開傳送帶的過程中，只有重力和傳送帶的摩擦力對物體做功，由動能定理有：
mgR-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
又物體從A滑至B的過程中有：
mgR=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
所以有：
$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$-$\frac{3L}{8h}$×mg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
又v_B=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
可解得：v₂=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}+{v}_{0}^{2}}$
物體離開傳送帶后做平拋運(yùn)動，由題意根據(jù)平拋可知
OD=$\frac{L}{2}$+v₂t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}+{v}_{0}^{2}}$$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{{L}^{2}}{4}+\frac{2h{v}_{0}^{2}}{g}}$；
（3）物體由靜止從P點(diǎn)開始下滑，到達(dá)B點(diǎn)的速度：
v_B=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，
當(dāng)物體滑上傳送帶全程加速時(shí)，物體滑離傳送帶時(shí)的速度v₂，根據(jù)動能定理有：
加速時(shí)摩擦力做正功，故有：
μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入數(shù)值可得：
v₂=$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$
所以當(dāng)傳送帶的速度v＞$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$，物體離開傳送帶的速度v＞$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$，由題意根據(jù)平拋運(yùn)動知識可知：
x=$\frac{L}{2}$+v₂t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{{L}^{2}+\frac{3}{4}{L}^{2}}$=$\frac{L}{2}$（1+$\sqrt{7}$）
同理有當(dāng)物體由靜止從P點(diǎn)開始下滑，達(dá)到B點(diǎn)的速度vB=L$\sqrt{\frac{g}{2h}}$，當(dāng)物體滑上傳送帶并在全程在摩擦力作用下做減速運(yùn)動時(shí)，物體滑離傳送帶的時(shí)的速度為v₁，根據(jù)動能定理有：
減速時(shí)摩擦力做負(fù)功，故有：-μmg$\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入相應(yīng)數(shù)值可解得：v₁=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$
所以當(dāng)傳送帶速度小于v＜$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$時(shí)，物體滑離傳送帶時(shí)的速度v₁=$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$
所以可知；x=$\frac{L}{2}$+v₁t=$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=L
當(dāng)傳送帶的速度滿足：v₁≤v≤v₂時(shí)，物體在摩擦力作用下離開傳送帶時(shí)的速度大小都為v，
故此時(shí)x=$\frac{L}{2}$+v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
答：（1）物體P與傳送帶之間的摩擦因數(shù)μ=$\frac{3L}{8h}$；
（2）若在A處給物體P一個(gè)豎直向下的初速度，物體P從傳送帶的右端水平飛出后，落到地面上的D點(diǎn)，OD的大小為$\frac{L}{2}$+$\sqrt{\frac{{L}^{2}}{4}+\frac{2h{v}_{0}^{2}}{g}}$；
（3）若驅(qū)動輪轉(zhuǎn)動、帶動傳送帶以速度v勻速運(yùn)動，再把物體P從A處由靜止釋放，物體P落到地面上，設(shè)著地點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為x，x與傳送帶上表面速度v的函數(shù)關(guān)系為：
1、x=L時(shí)，v＜$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$；
2、x=$\frac{L}{2}$+v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$時(shí)，$\sqrt{\frac{g{L}^{2}}{8h}}$≤v≤$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$；
3、x=$\frac{L}{2}$（1+$\sqrt{7}$）時(shí)，v＞$\sqrt{\frac{7g{L}^{2}}{8h}}$．

點(diǎn)評 本題是機(jī)械能守恒、平拋運(yùn)動，動能定理的綜合應(yīng)用，要具有分析物體運(yùn)動過程的能力，能分情況全面分析物體的運(yùn)動情況，要抓住平拋運(yùn)動的時(shí)間由高度決定這一知識點(diǎn)．本題較難，易犯考慮不全面的錯(cuò)誤．