20.如圖所示,LMN是豎直平面內(nèi)固定的光滑軌道,MN水平且足夠長,LM下端與MN相切.質(zhì)量為m的小球B與一輕彈簧相連,并靜止在水平軌道上,質(zhì)量為2m的小球A從LM上距水平軌道高為h處由靜止釋放,在A球進入水平軌道之后與彈簧正碰并壓縮彈簧但不粘連.設小球A通過M點時沒有機械能損失,重力加速度為g.求:
(1)A球與彈簧碰前瞬間的速度大小v0;
(2)彈簧的最大彈性勢能EP;
(3)A、B兩球最終的速度vA、vB的大。

分析 (1)由機械能守恒定律求出A球與彈簧碰前瞬間的速度大小v0
(2)當A、B速度相同時相距最近,彈簧的彈性勢能最大,由系統(tǒng)的能量守恒和動量守恒定律可以求出彈簧的最大彈性勢能EP
(3)由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出最終A、B兩球的速度.

解答 解:(1)對A球下滑的過程,由機械能守恒定律得:
2mgh=$\frac{1}{2}$×2m${v}_{0}^{2}$
得:v0=$\sqrt{2gh}$
(2)當A球進入水平軌道后,A、B兩球組成的系統(tǒng)動量守恒,當A、B相距最近時,兩球速度相等,彈簧的彈性勢能最大.由動量守恒定律可得:
2mv0=(2m+m)v,v=$\frac{2}{3}$v0=$\frac{2}{3}\sqrt{2gh}$;
由能量守恒定律得:
2mgh=$\frac{1}{2}$(2m+m)v2+Epm
Epm=$\frac{2}{3}$mgh;
(3)當A、B相距最近之后,由于彈力的相互作用,它們將會相互遠離,當彈簧恢復原長時,它們之間的相互作用力可視為零,它們就達到最終的速度,該過程中,A、B兩球組成的系統(tǒng)動量守恒、能量也守恒.由動量守恒定律可得:2mv0=2mvA+mvB
由能量守恒定律可得:$\frac{1}{2}$×2m${v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$×2m${v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
解得:vA=$\frac{1}{3}$v0=$\frac{1}{3}\sqrt{2gh}$,vB=$\frac{4}{3}$v0=$\frac{4}{3}\sqrt{2gh}$.
答:(1)A球與彈簧碰前瞬間的速度大小v0是$\sqrt{2gh}$.
(2)彈簧的最大彈性勢能EP是$\frac{2}{3}$mgh.
(3)A、B兩球最終的速度vA、vB的大小分別為$\frac{1}{3}\sqrt{2gh}$和$\frac{4}{3}\sqrt{2gh}$.

點評 解決本題的關鍵要掌握碰撞的基本規(guī)律:動量守恒和能量守恒,明確臨界條件,應用機械能守恒定律、動量守恒定律、能量守恒定律處理這類問題.

練習冊系列答案
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