Question

6．如圖所示，真空中有以O(shè)′為圓心，r為半徑的圓柱形勻強(qiáng)磁場區(qū)域，圓的最下端與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O，圓的右端與平行于y軸的虛線MN相切，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，在虛線MN右側(cè)x軸上方足夠大的范圍內(nèi)有方向豎直向下、場強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場．現(xiàn)從坐標(biāo)原點(diǎn)O向紙面不同方向發(fā)射速率相同的質(zhì)子，質(zhì)子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑也為r，已知質(zhì)子的電荷量為q，質(zhì)量為m，不計(jì)質(zhì)子的重力、質(zhì)子對電磁場的影響及質(zhì)子間的相互作用力．求：
（1）質(zhì)子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大�。�
（2）沿y軸正方向射入磁場的質(zhì)子到達(dá)x軸所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場中勻速速圓周運(yùn)動的半徑公式求得質(zhì)子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大��；
（2）沿y軸正方向射入磁場的質(zhì)子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，進(jìn)入電場中做類平拋運(yùn)動，分別求得質(zhì)子運(yùn)動的時(shí)間即可．

解答 解：（1）質(zhì)子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供圓周運(yùn)動向心力有：
$Bqv=m\frac{v^2}{r}$
得質(zhì)子進(jìn)入磁場中的速度大小為：v=$\frac{Bqr}{m}$
（2）質(zhì)子在磁場中運(yùn)動$\frac{1}{4}$周期從O點(diǎn)進(jìn)入電場，然后做平拋運(yùn)動，設(shè)磁場中的時(shí)間為t₁，電場中的時(shí)間為t₂，質(zhì)子在磁場中運(yùn)動$\frac{1}{4}$的時(shí)間為：
t₁=$\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×\frac{2πr}{v}=\frac{πm}{2Bq}$
質(zhì)子在電場中做類平拋運(yùn)動，沿y軸方向在電場力作用下做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動：
$r=\frac{1}{2}at_2^2=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}t_2^2$
得粒子在電場中運(yùn)動的時(shí)間為：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2mr}{Eq}}$
所以質(zhì)子回到x軸的總時(shí)間：$t={t_1}+{t_2}=\frac{πm}{2Bq}+\sqrt{\frac{2mr}{Eq}}$
答：（1）質(zhì)子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為$\frac{Bqr}{m}$；
（2）沿y軸正方向射入磁場的質(zhì)子到達(dá)x軸所需的時(shí)間為$\frac{πm}{2Bq}+\sqrt{\frac{2mr}{Eq}}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動時(shí)掌握洛倫茲力提供圓周運(yùn)動向心力，注意根據(jù)幾何關(guān)系求解分析粒子的運(yùn)動是正確解題的關(guān)鍵．