Question

9．如圖所示，在磁感應(yīng)強度為B，方向垂直紙面向里的勻強磁場中有一粒子源，離子源從O點在紙面內(nèi)均勻地向各個方向同時發(fā)射速率為v、比荷為k的帶正電的粒子，PQ是在紙面內(nèi)垂直磁場放置的厚度不計的擋板，擋板的P端與O點的連線與擋板垂直，距離為$\frac{v}{kB}$，且粒子打在擋板上會被吸收；不計帶電粒子的重力與粒子間的相互作用，磁場分布足夠大，求：
（1）為使最多的粒子打在板上，則擋板至少多長；
（2）若擋板足夠長，則打在板上的粒子在磁場中運動的最長時間與最短時間的差值是多少；
（3）若擋板足夠長，在打在擋板上的粒子占所有粒子的比率是多少．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律求出粒子的軌道半徑，求出粒子打在板山的極限位置，然后確定板的長度．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據(jù)粒子轉(zhuǎn)過的圓心角求出粒子最長與最短運動時間，然后求出時間差．
（3）求出的粒子做圓周運動的半徑，與粒子源到擋板距離間的關(guān)系可判斷出吸收粒子最多時擋板的長度，以及打在板上的粒子發(fā)射角度范圍，角度范圍與圓周角2π的比值即為擋板吸收的粒子數(shù)占總粒子數(shù)的比率．

解答 解：（1）粒子在磁場中受到洛倫茲力提供做圓周運動的向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{v}{kB}$，
在擋板左側(cè)能打在擋板上部最遠(yuǎn)點的粒子恰好與擋板相切，如圖所示，
由題意可知：r=$\frac{v}{kB}$=OP，由幾何知識可得：PN=$\frac{v}{kB}$，

設(shè)粒子初速度方向與OP夾角為θ，隨著θ從0開始逐漸增大，粒子打在擋板上的點從N點逐漸下移；
當(dāng)粒子剛好通過P點時，粒子開始打在擋板的右側(cè)，設(shè)此時打在擋板上的點為M，
如圖1所示，在△OPM中，由幾何關(guān)系可得：PM=$\sqrt{（2r）^{2}-{r}^{2}}$，所以：PM=$\frac{\sqrt{3}v}{kB}$；
當(dāng)夾角θ繼續(xù)增大，則粒子打在擋板上的點從M點逐漸下移至P點，
由以上分析知道，擋板長度至少等于$\frac{\sqrt{3}v}{kB}$時，擋板吸收的粒子數(shù)最多；
（2）由以上分析知，當(dāng)粒子恰好從左側(cè)打在P點時，時間最短，如圖2軌跡1所示，
由幾何知識得粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為：θ₁=$\frac{π}{3}$；
當(dāng)粒子從右側(cè)恰好打在P點時，時間最長，如軌跡2所示，
由幾何知識得粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為：θ₂=$\frac{5π}{3}$，
粒子的運動周期：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π}{kB}$，
沿軌跡1的時間：t₁=$\frac{{θ}_{1}}{2π}$T，
沿軌跡2的時間：t₂=$\frac{{θ}_{2}}{2π}$T，
最長的時間差：△t=t₂-t₁=$\frac{4π}{3kB}$；
（3）粒子出射方向水平向右的粒子和沿軌跡2的粒子速度方向之間都能打在板上，
粒子方向的夾角為：α=$\frac{5π}{6}$，打到板上的粒子占所有粒子的比率為：η=$\frac{α}{2π}$=$\frac{5}{12}$；
答：（1）為使最多的粒子打在板上，則擋板至少長$\frac{\sqrt{3}v}{kB}$；
（2）若擋板足夠長，則打在板上的粒子在磁場中運動的最長時間與最短時間的差值是$\frac{4π}{3kB}$；
（3）若擋板足夠長，在打在擋板上的粒子占所有粒子的比率是：$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查了帶電粒子在勻強磁場中的運動，帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力；確定帶電粒子軌跡的范圍一般應(yīng)用畫圖的方法找出，同時可以結(jié)合選項進(jìn)行分析，可以用最快的速度求出結(jié)論．