Question

如圖所示，兩根細(xì)繩AC、BC系一個(gè)質(zhì)量為0.1 kg的小球，繩AC長(zhǎng)為l＝2 m，兩繩都拉直時(shí)與豎直軸夾角分別為30°和45°．試分析小球隨豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω在什么范圍內(nèi)，兩繩始終拉緊？當(dāng)ω＝3 rad/s時(shí)，兩繩拉力各為多大？(取g＝10 m/s²)

Answer 1

答案：
解析：

解析：由題意可看出，當(dāng)小球角速度很小時(shí)，小球離心趨勢(shì)小，只有繩AC拉緊，當(dāng)小球角速度很大時(shí)，小球離心趨勢(shì)大，只有繩BC拉緊，此兩種情況小球所需向心力 　　由兩繩拉力分別與重力的合力提供，據(jù)牛頓第二定律與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)可求得角速度的最小值與最大值，從而確定兩繩同時(shí)拉緊時(shí)的角速度范圍．當(dāng)ω＝3 rad/s時(shí)，首先判斷是哪根繩子拉緊或者是同時(shí)拉緊，進(jìn)而判斷向心力來(lái)源，據(jù)牛頓第二定律與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)列方程求得兩繩拉力． 　　兩繩張緊時(shí)，小球受重力mg、AC繩拉力F1和BC繩拉力F2如圖所示．若角速度由0逐漸增大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)兩種臨界情況． 　　(1)BC繩恰好拉直，F(xiàn)2＝0，此時(shí)角速度為ω1，F(xiàn)1和mg的合力提供小球在半徑r1＝lsin30°的圓周上運(yùn)動(dòng)所需向心力，mgtan30°＝mrω12，聯(lián)立以上兩式且代入數(shù)據(jù)得ω1＝2.4 rad/s 　　AC繩仍拉直，但F1＝0，此時(shí)角速度為ω2，F(xiàn)2和mg的合力提供向心力，mgtan45°＝mr2ω2，r2＝r1＝lsin30°，聯(lián)立解得ω2＝3.2 rad/s，要使兩繩始終張緊，角速度的取值范圍為2.4 rad/s≤ω≤3.2 rad/s． 　　(2)當(dāng)ω＝3 rad/s時(shí)，F(xiàn)1和F2同時(shí)存在，對(duì)小球應(yīng)用牛頓第二定律有： 　　F1sin30°＋F2sin45°＝mlsin30°ω2，F(xiàn)1cos30°＋F2cos45°－mg＝0，兩式聯(lián)立且代入數(shù)據(jù)解得F1＝0.27 N，F(xiàn)2＝1.1 N．