Question

18．“嫦娥一號”衛(wèi)星開始繞地球在橢圓軌道運動，經(jīng)過變軌、制動后，成為一顆繞月球做圓周運動的衛(wèi)星．設衛(wèi)星距月球表面的高度為h，做勻速圓周運動的周期為T．已知月球半徑為R，引力常量為G．求：
（1）月球的質(zhì)量M及月球表面的重力加速度g；
（2）在距月球表面高度為h₀的地方（h₀＜＜R），將一質(zhì)量為m的小球以v₀的初速度水平拋出，求落地瞬間月球引力對小球做功的瞬時功率P．

Answer 1

分析 （1）對嫦娥二號繞月球的運動，由萬有引力提供向心力的周期表達式可得月球質(zhì)量．由月面萬有引力等于重力，可得月球表面的重力加速度g．
（2）拋出的物體在豎直方向做自由落體運動，據(jù)運動規(guī)律求得落地時物體在豎直方向的分速度，根據(jù)P=mgv求得重力做功的瞬時功率．

解答 解：（1）萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，
月球表面的物體受到的重力等于萬有引力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：$g=\frac{{4{π^2}{{（{R+h}）}^3}}}{{{R^2}{T^2}}}$；
（2）在月球表面高度為h處水平拋出物體，物體落地時豎直方向的速度：v_y²=2gh₀，
所以物體落地時的瞬時功率為：P=mgv_y，
解得：P=$\frac{8{π}^{3}m（R+h）^{4}\sqrt{2（R+h）{h}_{0}}}{{R}^{3}{T}^{3}}$；
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$，月球表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
（2）落地瞬間月球引力對小球做功的瞬時功率P為$\frac{8{π}^{3}m（R+h）^{4}\sqrt{2（R+h）{h}_{0}}}{{R}^{3}{T}^{3}}$．

點評 解決問題的主要思路是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力，星球表面重力與萬有引力相等，掌握平拋運動規(guī)律及重力做功瞬時功率等于重力與豎直方向速度的乘積．