Question

6．美國(guó)航天局在北京時(shí)間2013年9月13日宣布，1977年發(fā)射的“旅行者1號(hào)”探測(cè)器已經(jīng)飛出太陽(yáng)系．探測(cè)器在飛行過(guò)程中，要先從地球飛往木星．通過(guò)查找數(shù)據(jù)可知，木星質(zhì)量約為地球的320倍，半徑約為地球半徑的10倍，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 在飛往木星的過(guò)程中，探測(cè)器受到地球和木星的萬(wàn)有引力的合力為零時(shí)，距地球距離與木星距離之比為10.5：40
• B． 地球與木星表面重力加速度之比為5：16
• C． 木星的第一宇宙速度比地球的第一宇宙速度小
• D． 探測(cè)器繞木星表面運(yùn)行的周期比繞地球表面運(yùn)行的周期要短

Answer 1

分析 由萬(wàn)有引力定律求出距離之比；
由萬(wàn)有引力公式求出重力加速度之比；
由萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律求出第一宇宙速度，然后求出第一宇宙速度之比；
由牛頓第二定律求出周期，然后求出周期之比．

解答 解：設(shè)探測(cè)器的質(zhì)量為m；
A、探測(cè)器受到地球和木星的萬(wàn)有引力的合力為零時(shí)，地球與木星對(duì)探測(cè)器的引力相等，由萬(wàn)有引力公式得：
G$\frac{m{M}_{地}}{{r}_{地}^{2}}$=G$\frac{m{M}_{木}}{{r}_{木}^{2}}$，$\frac{{r}_{木}}{{r}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{木}}{{M}_{地}}}$=$\sqrt{\frac{320{M}_{地}}{{M}_{地}}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{1}$，故A錯(cuò)誤；
B、由萬(wàn)有引力公式可知，G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，地球與木星表面重力加速度之比$\frac{{g}_{地}}{{g}_{木}}$=$\frac{{M}_{地}{R}_{木}^{2}}{{M}_{木}{R}_{地}^{2}}$=$\frac{{M}_{地}}{320{M}_{地}}$×$（\frac{10{R}_{地}}{{R}_{地}}）^{2}$=$\frac{5}{16}$，故B正確；
C、由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，木星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比$\frac{{v}_{木}}{{v}_{地}}$=$\sqrt{\frac{{M}_{木}{R}_{地}}{{M}_{地}{R}_{木}}}$=$\sqrt{\frac{320{M}_{地}}{{M}_{地}}×\frac{{R}_{地}}{10{R}_{地}}}$=4$\sqrt{2}$＞1，則木星的第一宇宙速度比地球的第一宇宙速度大，故C錯(cuò)誤；
D、由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，木星質(zhì)量約為地球的320倍，半徑約為地球半徑的10倍，則探測(cè)器繞木星表面運(yùn)行的周期比繞地球表面運(yùn)行的周期要長(zhǎng)，故D錯(cuò)誤；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星類型的問(wèn)題，常常建立這樣的模型：環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由中心天體的萬(wàn)有引力提供向心力．重力加速度g是聯(lián)系星球表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)的橋梁．