Question

假設(shè)宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，設(shè)其它星體對(duì)它們的引力作用可忽略．已知穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本構(gòu)成形式，一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，第四顆位于其中心，頂點(diǎn)上的三顆星沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行；另一種形式是四顆星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，圍繞正方形的中心做圓軌道運(yùn)行．設(shè)所有星體的質(zhì)量均相等，等邊三角形邊長(zhǎng)和正方形邊長(zhǎng)相等，試求出這兩種情況下四星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T₁和T₂之比．

Answer 1

分析：明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象受力分析，找到做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的來(lái)源．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
根據(jù)F_合=mr（

2π

T

）²，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

解答：解：對(duì)于第一種形式：
其軌道半徑為r₁=

3

3

a
由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：

Gm2

r 2 1

+2

Gm2

a 2

cos30°=mr₁

4π2

T 2 1

解得：T₁=2πa 

a 3(1+ 3 )Gm

①
對(duì)于第二種形式：星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑半徑r₂=

2

2

a
由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：

Gm2

2a 2

+2

Gm2

a 2

cos45°=mr₂

4π2

T 2 2

解得：T₂=2πa

2a (4+ 2 )Gm

②
由①②解得：

T1

T2

=

(4+ 2 )( 3 -1) 12

答：這兩種情況下四星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期之比

(4+ 2 )( 3 -1) 12

．

點(diǎn)評(píng)：知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．
萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．