Question

如圖所示，質(zhì)量為M = 0.60kg的小砂箱，被長(zhǎng)L = 1.6m的細(xì)線懸于空中某點(diǎn)，現(xiàn)從左向右用彈簧槍向砂箱水平發(fā)射質(zhì)量m = 0.20kg，速度v₀ = 20m/s的彈丸，假設(shè)砂箱每次在最低點(diǎn)時(shí)，就恰好有一顆彈丸射入砂箱，并留在其中（g=10m/s²，不計(jì)空氣阻力，彈丸與砂箱的相互作用時(shí)間極短）則：
（1）第一顆彈丸射入砂箱后，砂箱能否做完整的圓周運(yùn)動(dòng)？計(jì)算并說(shuō)明理由。
（2）第二、第三顆彈丸射入砂箱并相對(duì)砂箱靜止時(shí)，砂箱的速度分別為多大？
（3）停止射擊后，要使砂箱做小于5°的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，射入砂箱中的彈丸數(shù)目應(yīng)滿足什么條件？（ 已知cos5^o=0.996，

Answer 1

（1）1.25m<1.6m，不能做完整圓周運(yùn)動(dòng)（2）m/s
（3）射入砂箱的子彈數(shù)目應(yīng)為大于 或等于53的奇數(shù)

（1）射入第一顆子彈的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)量守恒， 
有：   ∴v₁="5m/s                   " （3分）
此后，砂箱和彈丸向上擺動(dòng)的過(guò)程中，最大高度為h，機(jī)械能守恒，有：

解得h=1.25m<1.6m
∴不能做完整圓周運(yùn)動(dòng)。                               （3分）
（2）第二顆子彈射入過(guò)程中，由動(dòng)量守恒，
     解得：      （3分）
第三顆子彈射入過(guò)程中，
         解得m/s          （3分）
（3）設(shè)第n顆彈丸射入砂箱后，砂箱速度為v_n，由以上分析可知：
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，v_n="0                                    " （1分）
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，由動(dòng)量守恒：
                                     （2分）
設(shè)射入n顆子彈后，恰好做擺角等于5^o的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有：
                  
解得                                          （3分）
∴停止射擊后，要使砂箱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，則射入砂箱的子彈數(shù)目應(yīng)為大于 或等于53的奇數(shù)。                                                       （2分）