Question

18．MN、PQ是長為d，間距為d的兩塊平行金屬板，PQ板帶正電，MN板帶負(fù)電，在PQ板所處水平線上方足夠大空間內(nèi)有垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，如圖所示，一束粒子以相同的速度v₀平行兩極板射入電場，其中沿兩板中線射入的粒子恰好能從PQ板左邊緣射入磁場，然后又恰好從PQ板的右邊緣射出磁場，已知粒子電荷量為q、質(zhì)量為m，不計(jì)粒子重力、忽略電場的邊緣效應(yīng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=$\frac{2m{v}_{0}}{qd}$．
（1）判斷磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向；
（2）求兩金屬板間電壓U的大小；
（3）若勻強(qiáng)磁場中距Q點(diǎn)左邊的水平距離x=$\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$d處有一豎直擋板，打在擋板上的粒子能被吸收，求粒子打在PQ板上表面的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在電場中偏轉(zhuǎn)的方向，判斷出粒子的電性，然后結(jié)合粒子在磁場中偏轉(zhuǎn)的方向，由左手定則即可判斷出磁場的方向；
（2）帶電粒子在平行金屬板間做的是類平拋運(yùn)動(dòng)，對物體受力分析，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得電壓的大小；
（3）根據(jù)粒子在電場中做平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，求出能夠射出電場的粒子的范圍．以及粒子出射的方向；出電場后，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求出粒子進(jìn)入磁場的范圍，在根據(jù)磁場中運(yùn)動(dòng)的規(guī)律判斷出粒子打在PQ板上表面的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)粒子在電場中向正極偏轉(zhuǎn)的特點(diǎn)，可以判斷出粒子帶負(fù)電；帶負(fù)電的粒子在磁場中向右偏轉(zhuǎn)，由左手定則可知磁場的方向向里．
（2）設(shè)帶電粒子在平行金屬板勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，由類平拋運(yùn)動(dòng)可知：
d=v₀t       ①
$\frac{1}{2}$$d=\frac{1}{2}a{t}^{2}$        ②
$a=\frac{Eq}{m}$         ③
$E=\frac{U}dlyv7gi$          ④
由①②③④可解得：
U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$           ⑤
（3）粒子出電場時(shí)：v_y=at=$\frac{qU}{md}•\fracv1d1ucz{{v}_{0}}={v}_{0}$ 
設(shè)速度的偏轉(zhuǎn)角為θ，則：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$
所以：θ=45°
粒子出電場時(shí)的速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$   ⑥
帶電粒子以速度v飛出電場后射入勻強(qiáng)磁場做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力有：

$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$  
則粒子運(yùn)動(dòng)的半徑：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{q•\frac{2m{v}_{0}}{qd}}=\frac{\sqrt{2}}{2}d$    ⑦
由類平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，射出電場的所有的粒子運(yùn)動(dòng)的方向都是相同的，速度的大小也相等，從Q點(diǎn)射入磁場的粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示，進(jìn)入磁場中的粒子若沒有打到擋板上，則一定會(huì)到達(dá)極板PQ的上面，剛好與擋板相切的粒子假設(shè)從D點(diǎn)進(jìn)入磁場，到達(dá)PQ上的H點(diǎn)，如圖，由圖可知，$\overline{PH}=\overline{QD}$，$\overline{PH}$即為粒子打在PQ板上表面的范圍．
由幾何關(guān)系可知，D點(diǎn)到擋板的距離：$x′=R-Rcos45°=R-\frac{\sqrt{2}}{2}R$=$\frac{\sqrt{2}}{2}d（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）=\frac{2\sqrt{2}-2}{4}d$
所以$\overline{QD}=x-x′=\frac{2\sqrt{2}-1}{4}d-\frac{2\sqrt{2}-2}{4}d$=$\frac{1}{4}d$
則：$\overline{PH}=\frac{1}{4}d$
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于紙面向里；
（2）兩金屬板間電壓U的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$；
（3）若勻強(qiáng)磁場中距Q點(diǎn)左邊的水平距離x=$\frac{2\sqrt{2}-1}{4}$d處有一豎直擋板，打在擋板上的粒子能被吸收，粒子打在PQ板上表面的范圍是在離P點(diǎn)$\frac{1}{4}$d的范圍以內(nèi)．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)和帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)，重點(diǎn)是要掌握住半徑公式、周期公式．在解答的過程中畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．