Question

9．如圖所示，光滑圓弧BC與水平面和傳送帶分別相切于B，C兩點(diǎn)，圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角θ=37°，圓弧BC的半徑R=7m，足夠長(zhǎng)的傳送帶以恒定速率v=4m/s順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，傳送帶CD與水平面的夾角也為θ，一質(zhì)量m=1kg的小滑塊從A點(diǎn)以大小v₀=10m/s的初速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，A，B間的距離s=3.6m，已知小滑塊與水平面、傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小滑塊第一次滑到C點(diǎn)時(shí)的速度的大小；
（2）小滑塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，相對(duì)C點(diǎn)增加的重力勢(shì)能；
（3）小滑塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，小滑塊與傳送帶間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）A到C的過(guò)程中重力與摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理即可求得物體第一次到達(dá)C的速度．
（2）由于物體在傳送帶上時(shí)，重力沿斜面向下的分力大于摩擦力，所以物體在傳送帶上的減速運(yùn)動(dòng)分成兩個(gè)階段，對(duì)物體分別進(jìn)行受力分析，求得兩個(gè)階段的加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式分別求出兩個(gè)階段的位移大小，從而求得物塊上升的最大高度，即可求得增加的重力勢(shì)能．
（3）由功的計(jì)算公式可以求出滑塊與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）C離A的高度：h=R-Rcosθ=R-0.8R=0.2R=1.4m
滑塊從A到C的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
-mgh-μmgs=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：v_c=6m/s；
（2）物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a₁，則：
a₁=gsinθ+μgcosθ=10×sin37°+0.5×10×cos37°=10m/s ²，
設(shè)物體在傳送帶上達(dá)到與傳送帶等速時(shí)的時(shí)間為t₁，則：
v=v_c-a₁t₁，解得：t₁=$\frac{{v}_{C}-v}{{a}_{1}}$=$\frac{6-4}{10}$s=0.2s．
向上的位移：x₁=$\frac{{v}_{C}+v}{2}$t₁=$\frac{6+4}{2}$×0.2=1m，
由于 mgsinθ＞μmgcosθ
物體繼續(xù)在傳送帶上減速上滑，加速度大小為：
a₂=gsinθ-μgcosθ=10×sin37°-0.5×10×cos37°=2m/s²
繼續(xù)向上滑動(dòng)的時(shí)間：t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$=2s，
繼續(xù)向上滑動(dòng)的位移：x₂=$\frac{v}{2}$t₂=$\frac{4}{2}$×2=4m，
向上運(yùn)動(dòng)的最大距離：x=x₁+x₂=1m+4m=5m．
小滑塊到達(dá)的最高點(diǎn)時(shí)，相對(duì)C點(diǎn)增加的重力勢(shì)能增加量為：△E_P=mgxsin30°=30J；
（3）小滑塊與傳送帶間由于摩擦產(chǎn)生的熱量：
Q=W=fx=μmgxcosθ=0.5×1×10×5cos37°=20J；
答：（1）小滑塊第一次滑到C點(diǎn)時(shí)的速度大小為6m/s；
（2）小滑塊到達(dá)的最高點(diǎn)時(shí)，相對(duì)C點(diǎn)增加的重力勢(shì)能為30J；
（3）小滑塊到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，小滑塊與傳送帶間由于摩擦而產(chǎn)生的熱量為20J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，知道物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合動(dòng)能定理、牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．