Question

如圖，豎直放置的光滑平行金屬導軌MN、PQ相距L，在M點和P點間接一個阻值為R的電阻，在兩導軌間 OO₁O₁′O′矩形區(qū)域內有垂直導軌平面向里、寬為d的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m，電阻為r的導體棒ab垂直擱在導軌上，與磁場上邊邊界相距d₀．現(xiàn)使ab棒由靜止開始釋放，棒ab在離開磁場前已經(jīng)做勻速直線運動（棒ab與導軌始終保持良好的電接觸且下落過程中始終保持水平，導軌電阻不計）．求：
（1）棒ab在離開磁場下邊界時的速度；
（2）棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若設ab棒由靜止開始釋放處為下落起點，畫出棒在下落高度d+d₀過程中速度隨下落高度h變化所對應的各種可能的圖線．

Answer 1

分析：（1）棒ab在離開磁場前已經(jīng)做勻速直線運動，處于平衡狀態(tài)，由安培力公式及平衡條件可以求出棒離開下邊界時的速度．
（2）從ab棒開始下滑到剛離開磁場的過程，運用能量守恒定律可以求出金屬棒產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）根據(jù)棒進入磁場時的速度大小，討論棒在磁場中的運動情況．

解答：解：（1）設ab棒離開磁場邊界前做勻速運動的速度為v，產(chǎn)生的電動勢為E=BLv    
電路中電流 I=

E

R+r

對ab棒，由平衡條件得 mg-BIL=0                   
解得 v=

mg(R+r)

B2L2

（2）從ab棒開始下滑到剛離開磁場的過程，由能量守恒定律得：mg（d₀+d）=E_電+

1

2

mv²                 
解得 整個電路中產(chǎn)生的焦耳熱為  E電=mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

則棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱；E棒電=

r

R+r

[mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]
（3）設棒自由落體d₀高度歷時為t₀，由d₀=

1

2

gt₀²，得t₀=

2d0 g

棒在磁場中勻速時速度為v=

mg(R+r)

B2L2

，設t=

v

g

=

m(R+r)

B2L2

當t₀=t，即d₀=

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做勻速直線運
當t₀＜t，即d₀＜

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做先加速后勻速直線運動
當t₀＞t，即d₀＞

m2g(R+r)2

2B4L4

時，棒進入磁場后做先減速后勻速直線運動．
畫出棒在下落高度d+d₀過程中速度隨下落高度h變化所對應的各種可能的圖線如圖所示．
答：
（1）棒ab在離開磁場下邊界時的速度為

mg(R+r)

B2L2

；
（2）棒ab在通過磁場區(qū)的過程中產(chǎn)生的焦耳熱為

r

R+r

[mg(d0+d)-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]；

點評：本題最后一問是本題的難點，根據(jù)棒進入磁場的時刻進行分析討論是正確解題的關鍵．