Question

2．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，
（1）求地球的質(zhì)量M；
（2）我國自行研制的“神舟七號”載人飛船于2008年9月25日從中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心載人航天發(fā)射場用長征二號F火箭發(fā)射升空．假設(shè)“神舟七號”飛船進(jìn)入預(yù)定軌道后繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行的周期是T，結(jié)合題干中所給的已知量，求飛船繞地球飛行時離地面的高度h．

Answer 1

分析 對于在地面處質(zhì)量為m的物體，根據(jù)萬有引力等于重力求解地球的質(zhì)量M；
飛船在軌道上飛行時，根據(jù)萬有引力提供向心力求解飛船繞地球飛行時離地面的高度h．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，對于在地面處質(zhì)量為m的物體有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg      ①
由①式解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
（2）設(shè)飛船的質(zhì)量為m′，飛船在軌道上飛行時，根據(jù)萬有引力提供向心力得
$\frac{GMm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=R+h        ②
由①③兩式解得：h=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{{gR}^{2}}{G}$；
（2）飛船繞地球飛行時離地面的高度為$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．

點(diǎn)評 萬有引力的應(yīng)用兩點(diǎn)注意：（1）星球表面的重力和萬有引力相等；（2）環(huán)繞天體受的萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動的向心力．注意軌道半徑和距地面距離的關(guān)系．