Question

如圖所示，在圓柱形屋頂中心天花板上的O點(diǎn)，掛一根L=3m釣細(xì)繩，繩的下端掛一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為l0N．小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度逐漸增大到繩斷裂后，小球以v=9m/s的速度落在墻邊．求這個(gè)圓柱形屋頂?shù)母叨菻和半徑R．（g取10m/s²）

Answer 1

分析：設(shè)繩與豎直方向夾角為θ，則cosθ=

mg

T

=

1

2

，所以θ=60°，小球在繩子斷開后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)求出下落的高度，根據(jù)幾何關(guān)系即可求得H，
根據(jù)向心力公式求出繩斷時(shí)的速度，進(jìn)而求出水平位移，再根據(jù)幾何關(guān)系可求R．

解答： 解：如圖（1）所示，取小球?yàn)檠芯繉ο�，設(shè)繩剛要斷裂時(shí)細(xì)繩的拉力大小為T，繩與豎直方向夾角為α，則在豎直方向有：
　　Fcosα=mg，所以cosθ=

mg

T

=

1

2

，所以θ=60°                                                  
　　球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=Lsin60°=3×

3

2

m=

3 3

2

m，
　　O、O′間的距離為：OO′=Lcos60°=1.5m，
　　則O′、O″間的距離為O′O″=H-OO′=H-1.5m．
　　由牛頓第二定律知
　　Tsinθ=m

vA2

r

    解得：vA=

Frsinθ m

=3

5

m/s
　　設(shè)在A點(diǎn)繩斷，細(xì)繩斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，落在墻邊C處．
　　設(shè)A點(diǎn)在地面上的投影為B，如答圖（2）所示．
    由運(yùn)動(dòng)的合成可知：v²=v_A²+（gt）²，
　　由此可得小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
　　t=

v2-vA2

g

=0.6s                                                             
　　由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知小球在豎置方向上的位移為s_y=

1

2

gt²=H-1.5m，
　　所以屋的高度為H=

1

2

gt²+1.5m=

1

2

×10×0.62m+1.5m=3.3m，
　　小球在水平方向上的位移為s_x=BC=v_At=

9 5

5

m
　　由圖可知，圓柱形屋的半徑為R=

r2+(BC)2

=4.8m
答：這個(gè)圓柱形屋頂?shù)母叨菻為3.3m，半徑R為4.8m．

點(diǎn)評：本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及向心力公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能畫出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，能結(jié)合幾何關(guān)系解題，難度適中．