Question

【題目】如圖甲所示，水平傳送帶以 5．0m/s 恒定的速率運(yùn)轉(zhuǎn)，兩皮帶輪之間的距 離 l=6m，皮帶輪的半徑大小可忽略不計。沿水平傳送帶的上表面建立 xOy 坐標(biāo)系，坐標(biāo) 原點(diǎn) O 在傳送帶的最左端。半徑為 R 的光滑圓軌道 ABC 的最低點(diǎn) A 點(diǎn)與 C 點(diǎn)原來相連， 位于豎直平面內(nèi)（如圖乙所示），現(xiàn)把它從最低點(diǎn)處切開，并使 C 端沿 y 軸負(fù)方向錯開少 許，把它置于水平傳送帶的最右端， A 點(diǎn)位于 x 軸上且與傳送帶的最右端之間的距離可忽 略不計，軌道的 A、 C 兩端均位于最低點(diǎn)， C 端與一水平直軌道平滑連接。 由于 A、 C 兩 點(diǎn)間沿 y 軸方向錯開的距離很小，可把 ABC 仍看作位于豎直平面內(nèi)的圓軌道。將一質(zhì)量m=1kg 的小物塊 P（可視為質(zhì)點(diǎn)）沿 x 軸輕放在傳送帶上某處，小物塊隨傳送帶運(yùn)動到 A 點(diǎn)進(jìn)入光滑圓軌道，恰好能夠通過圓軌道的最高點(diǎn)B，并沿豎直圓軌道 ABC 做完整的圓周運(yùn)動后由 C 點(diǎn)經(jīng)水平直軌道滑出。已知小物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù) μ=0．5，圓軌道 的半徑 R=0．5m，取重力加速度 g=10m/s2。求：

（1）物塊通過圓軌道最低點(diǎn) A 時對軌道壓力的大小；

（2）輕放小物塊位置的 x 坐標(biāo)應(yīng)滿足什么條件，才能完成上述運(yùn)動；

（3）傳送帶由電動機(jī)帶動，其與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦。若將小物 塊輕放在傳送帶上 O 點(diǎn)，求將小物塊從 O 點(diǎn)運(yùn)送至 A 點(diǎn)過程中電動機(jī)多做的功。

Answer 1

【答案】（1）60N；（2）x≤3．5m；（3）25J

【解析】

試題分析：1）設(shè)物塊恰好通過圓軌道最高點(diǎn)B時的速率為vB，根據(jù)牛頓第二定律有：

解得：

設(shè)物塊通過圓軌道最低點(diǎn)A的速率為vA，對于物塊由A點(diǎn)運(yùn)動至B點(diǎn)的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：

mvA2=m vB2+2mgR

代入數(shù)據(jù)解得：vA=5．0m/s

設(shè)物塊通過圓軌道最低點(diǎn)A時，軌道對物塊的支持力為FN，根據(jù)牛頓第二定律有：；

代入數(shù)據(jù)解得：FN=60N

據(jù)牛頓第三定律，物塊通過圓軌道最低點(diǎn)A對軌道的壓力為：F′N=FN=60N

（2）物塊在傳送帶上的加速度為：a=μg=5．0m/s2

根據(jù)（1）可知物塊運(yùn)動至A點(diǎn)的速度滿足vA=5．0m/s，

可使其恰好通過圓軌道最高點(diǎn)B．傳送帶的速率為：v0=5．0m/s，

物塊在傳送帶上加速運(yùn)動的位移為：，

故輕放小物塊的位置坐標(biāo)需滿足：x≤l-x0=3．5m

（3）設(shè)為將小物塊從O點(diǎn)運(yùn)送到A點(diǎn)傳送帶電動機(jī)做的功為W，小物塊加速運(yùn)動時間為：，

小物塊加速運(yùn)動的位移：x=at2=2．5m

根據(jù)功能關(guān)系有：W=mvA2+μmg（v0t-x）=25J