Question

我國“嫦娥一號(hào)”月球探測器在繞月球成功運(yùn)行之后，為進(jìn)一步探測月球的詳細(xì)情況，又發(fā)射了一顆繞月球表面飛行的科學(xué)試驗(yàn)衛(wèi)星，假設(shè)該衛(wèi)星繞月球的運(yùn)動(dòng)視為圓周運(yùn)動(dòng)，并已知月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）求該衛(wèi)星環(huán)繞月球運(yùn)行的第一宇宙速度v₁；
（2）若該衛(wèi)星在沒有到達(dá)月球表面之前先要在距月球某一高度繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行調(diào)姿，且該衛(wèi)星此時(shí)運(yùn)行周期為T，求該衛(wèi)星此時(shí)的運(yùn)行半徑r；
（3）由題目所給條件，請(qǐng)?zhí)岢鲆环N估算月球平均密度的方法，并推導(dǎo)出密度表達(dá)式．

Answer 1

分析：1、根據(jù)第一宇宙速度的定義以及萬有引力等于向心力列出等式求解
2、根據(jù)衛(wèi)星的萬有引力等于向心力列出等式表示出衛(wèi)星此時(shí)的運(yùn)行半徑
3、抓住月球表面萬有引力等于重力可計(jì)算月球的質(zhì)量，再根據(jù)密度的定義式可計(jì)算月球的密度．

解答：解：（1）第一宇宙速度是星球近表面圓軌道衛(wèi)星運(yùn)行的速度大小．
根據(jù)衛(wèi)星的萬有引力等于向心力得

GMm

R2

=m

v 2 1

R

根據(jù)月球表面萬有引力等于重力得：

GMm

R2

=mg
聯(lián)立求得：v₁=

gR

（2）根據(jù)衛(wèi)星的萬有引力等于向心力列出等式：

GMm

r2

=

m?4π2r

T2

得：r=

3	GMT2 4π2

根據(jù)月球表面萬有引力等于重力得：

GMm

R2

=mg  即GM=gR²
所以該衛(wèi)星此時(shí)的運(yùn)行半徑r=

3	gR2T2 4π2

（3）根據(jù)月球表面萬有引力等于重力得：

GMm

R2

=mg
M=

gR2

G

月球平均密度ρ=

M

V

=

gR2 G

4πR3 3

=

3g

4πGR

答：（1）該衛(wèi)星環(huán)繞月球運(yùn)行的第一宇宙速是

gR

（2）該衛(wèi)星此時(shí)的運(yùn)行半徑是

3	gR2T2 4π2

；
（3）密度表達(dá)式是

3g

4πGR

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要掌握天體運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)問題：1、萬有引力提供向心力，2、星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．掌握好這兩個(gè)關(guān)系可以解決所以天體問題．