Question

8．如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，整個裝置豎直放置，C是最低點，圓心角∠BOC為θ=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=1.0m，斜面長L=4.0m，現(xiàn)有一個質量m=1.0kg的小物體P從斜面AB上端A點無初速下滑，物體P與斜面AB之間的動摩擦因數(shù)為μ=0.25，g取10m/s²．求：
（1）物體P第一次通過C點時的速度大��；
（2）物體P第一次離開D點后在空中做豎直上拋運動，不計空氣阻力，則最高點E和D點之間的高度差為多大？
（3）物體P從空中又返回到圓軌道和斜面，做往復運動，在整個過程中，物體P對軌道上C點的最小壓力是多大？

Answer 1

分析 （1）對A到C的運動過程應用動能定理即可求解；
（2）對C到E的運動過程應用機械能守恒即可求解；
（3）分析物體受力情況得到物體最終運動狀態(tài)，然后由機械能守恒求得在C點的速度，再由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力．

解答 解：（1）物體P從A下滑經B到C過程中只有重力、摩擦力做功，根據(jù)動能定理可得：
$mgLsin37°+mgR（1-cos37°）-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0$；
解得：${v}_{C}=\sqrt{2g[Lsin37°+R（1-cos37°）-μLcos37°]}$=6m/s；
（2）物體P從C到E的過程只有重力做功，機械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mg（R+h）$
所以，最高點E和D點之間的高度差為：$h=\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2g}-R=0.8m$；
（3）物體P在AB斜面上由最大靜摩擦力f=μmgcos37°＜mgsin37°，故物體P最終不能停留在PB上，
所以，物體P最后在B與其等高的圓弧軌道上來回運動時，經C點壓力最��；
物體P在做來回運動時只有重力做功，機械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}=mgR（1-cos37°）$；
那么，對物塊在C點應用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{C}{′}^{2}}{R}=2mg（1-cos37°）=0.4mg$；
所以，由牛頓第三定律可得：物體P對軌道上C點的最小壓力為：N=F_N=1.4mg=14N；
答：（1）物體P第一次通過C點時的速度大小為6m/s；
（2）物體P第一次離開D點后在空中做豎直上拋運動，不計空氣阻力，則最高點E和D點之間的高度差為0.8m；
（3）物體P從空中又返回到圓軌道和斜面，做往復運動，在整個過程中，物體P對軌道上C點的最小壓力是14N．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．