Question

11．如圖所示，橋面為圓弧形的立交橋橫跨在水平路面上，橋長L=80m，橋高h=20m．一質量m=800kg的小汽車沿橋運動，取g=10m/s²．
（1）汽車運動到橋頂時，為防止騰空失控，求汽車速度v應滿足的條件；
（2）若汽車在橋頂時速度v=15m/s，能否騰空失控？若不騰空，求出汽車在橋頂時對橋面的壓力．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關系求出拱橋的半徑，抓住支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出汽車的最大速度．
（2）通過速度比較判斷汽車能否騰空失控，若不能，結合牛頓第二定律求出支持力，從而得出壓力的大�。�

解答 解：（1）根據(jù)幾何關系得：${r}^{2}=（r-h）^{2}+（\frac{L}{2}）^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r=50m，
當支持力為零時，根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：v=$\sqrt{gr}=\sqrt{10×50}m/s=10\sqrt{5}$m/s，
可知汽車速度滿足的條件是$v＜10\sqrt{5}$m/s．
（2）15m/s$＜10\sqrt{5}$m/s，
根據(jù)牛頓第二定律得：$mg-{F}_{N}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得：${F}_{N}=4.4×1{0}^{3}$N，
根據(jù)牛頓第三定律知，壓力為：${F}_{N}′={F}_{N}=4.4×1{0}^{3}N$．
答：（1）汽車速度v應滿足的條件是$v＜10\sqrt{5}$m/s．
（2）汽車在橋頂時對橋面的壓力為4.4×10³N．

點評 解決本題的關鍵知道汽車在橋頂向心力的來源，結合幾何關系和牛頓第二定律進行求解，難度不大．