Question

（2013?浙江模擬）如圖所示，三個(gè)同心圓是磁場(chǎng)的理想邊界，圓1半徑R₁=R、圓2半徑R₂=3R、圓3半徑R₃（R₃＞R₂）大小未定，圓1內(nèi)部區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，圓1與圓2之間的環(huán)形區(qū)域是無場(chǎng)區(qū)，圓2與圓3之間的環(huán)形區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B．兩個(gè)區(qū)域磁場(chǎng)方向均垂直于紙面向里．t=0時(shí)一個(gè)質(zhì)量為m，帶電量為+q（q＞0）的離子（不計(jì)重力），從圓1上的A點(diǎn)沿半徑方向以速度v=

3 qBR

m

飛進(jìn)圓1內(nèi)部磁場(chǎng)．問：
（1）離子經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間第一次飛出圓1？
（2）離子飛不出環(huán)形磁場(chǎng)圓3邊界，則圓3半徑R₃至少為多大？
（3）在滿足了（2）小題的條件后，離子自A點(diǎn)射出后會(huì)在兩個(gè)磁場(chǎng)不斷地飛進(jìn)飛出，從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn)，離子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為多少？
（4）在同樣滿足了（2）小題的條件后，若環(huán)形磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪庇诩埫嫦蛲�，其它條件不變，從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn)，離子運(yùn)動(dòng)的路徑總長(zhǎng)為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的圓心角，結(jié)合周期公式求出粒子飛出圓1經(jīng)歷的時(shí)間．
（2）作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出圓3半徑R₃的最小值．
（3）作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，通過粒子在圓2和圓3之間的運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為240°，結(jié)合周期公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，抓住離子第二次回到A點(diǎn)，離子在圓1內(nèi)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)共6次．在無磁場(chǎng)區(qū)中直線運(yùn)動(dòng)共12次求出運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．
（4）作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡，從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn)，離子在圓1內(nèi)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)共2次，離子在環(huán)形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)共2次，離子在無磁場(chǎng)區(qū)中直線運(yùn)動(dòng)共4次，結(jié)合幾何關(guān)系求出離子運(yùn)動(dòng)的路徑．

解答：解：（1）由qvB=m

v2

r1

得
r1=

3

R．
如右圖1所示，根據(jù)幾何關(guān)系得，粒子在圖1中運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為60°
解得t1=

60

360

?

2πm

qB

=

πm

3qB

．
（2）依題意離子在環(huán)形磁場(chǎng)軌跡與圓3相切時(shí)對(duì)應(yīng)的就是半徑最小值，如右圖2所示．
由于兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度相同，有：r2=r1=

3

R．
由圖中的幾何關(guān)系得，

R22+r22

+r2=R3．
解得R3=3

3

R．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系，離子在圓2和圓3之間的運(yùn)動(dòng)圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為240°．
解得t2=

240

360

?

2πm

qB

=

4πm

3qB

．
如下左圖所示，（只畫了重復(fù)單程，這樣的單程重復(fù)總共需6次）
從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn)，離子在圓1內(nèi)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)共6次．
離子在環(huán)形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)共6次，離子在無磁場(chǎng)區(qū)中直線運(yùn)動(dòng)共12次．
在無場(chǎng)區(qū)離子直線單程的時(shí)間t3=

2 3 m

3qB

．
總時(shí)間t=6t1+6t2+12t3=(10π+8

3

)

m

qB

．
（4）如下右圖所示．（只畫了重復(fù)單程，這樣重復(fù)單程共需2次）
從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn)，離子在圓1內(nèi)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)共2次；
離子在環(huán)形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)共2次，離子在無磁場(chǎng)區(qū)中直線運(yùn)動(dòng)共4次．
路徑總長(zhǎng)s=(

10 3 π

3

+8)R．
答：（1）離子經(jīng)

πm

3qB

第一次飛出圓1．
（2）離子飛不出環(huán)形磁場(chǎng)圓3邊界，則圓3半徑R₃至少為R3=3

3

R．
（3）從t=0開始到離子第二次回到A點(diǎn)，離子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為(10π+8

3

)

m

qB

．
（4）從t=0開始到離子第一次回到A點(diǎn)，離子運(yùn)動(dòng)的路徑總長(zhǎng)為(

10 3 π

3

+8)R．

點(diǎn)評(píng)：處理帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，關(guān)鍵作出運(yùn)動(dòng)的軌跡，確定圓心和半徑，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．