如圖甲所示,空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場,磁感應強度大小為B。讓質量為m,電荷量為q(q>0)的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁場中。不計重力和粒子間的影響。
(1)若粒子以初速度v1沿y軸正向入射,恰好能經過x軸上的A(a,0)點,求v1的大小;
(2)已知一粒子的初速度大小為v(v>v1),為使該粒子能經過A(a,0)點,其入射角θ(粒子初速度與x軸正向的夾角)有幾個?并求出對應的sinθ值;
(3)如圖乙,若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場,一粒子從O點以初速度v0沿y軸正向發(fā)射。研究表明:粒子在xOy平面內做周期性運動,且在任一時刻,粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標成正比,比例系數與場強大小E無關。求該粒子運動過程中的最大速度值vm。
⑴;⑵兩個 sinθ=;⑶+。
【解析】(1)帶電粒子以初速度v1沿y軸正方向入射后,在磁場中做勻速圓周運動,剛好轉過半周到達x軸上的A點,設此時的軌道半徑為R1,有:R1=a/2 ①
由洛倫茲力提供粒子做圓周運動的向心力,根據牛頓第二定律有qBv1= ②
由①②式聯(lián)立解得:v1=。
(2)帶電粒子以初速度v入射時,在磁場中仍然做勻速圓周運動,設此時軌道為R,對照②式可知:R= ③
由于v>v1,則R>R1=a/2,要使其圓軌跡能經過A點,則θ≠90°,繪出粒子的軌跡圖如圖所示,軌跡圓有兩個,但圓心都落在OA的中垂線上,設做兩個圓周運動的速度入射方向與x軸正方向的夾角分別為θ和θ′,根據圖中幾何關系有:sinθ′=sinθ= ④
由③④式聯(lián)立解得:sinθ=。
(3)粒子在磁場中僅受洛倫茲力和電場力作用,又洛倫茲力始終與速度方向垂直,不做功,因此只有電場力做功,根據題意可知,當粒子運動至+y方向最遠處時,速度最大為vm,且沿+x方向,設+y方向最遠處的y坐標為ym,由于vx與y成正比,設比例系數為k,有:vm=kym ⑤
根據動能定理有:qEym=- ⑥
又因比例系數與電場強度E無關,因此若無電場,粒子將以速度v0做勻速圓周運動,設軌道半徑為R0,此時在+y方向最遠處的y坐標為R0,有:v0=kR0 ⑦
對照②式可知:R0= ⑧
由⑤⑥⑦⑧式聯(lián)立解得:vm=+
【考點定位】本題主要考查帶電粒子在磁場、復合場中的運動問題,以及分析問題、從題干中提取有用信息的能計算題力問題。難度較大。
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