Question

11．中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”預計在2017年實現月面無人采樣返回，為載人登月及月球基地選址做準備．在某次登月計劃中，飛船上備有以下實驗儀器：A．計時表一只，B．彈簧秤一把，C．已知質量為m的鉤碼一個，D．天平一只（附砝碼一盒）．“嫦娥”號飛船接近月球表面時，先繞月做勻速圓周運動，宇航員測量出繞行N圈所用時間為t，飛船的登月艙在月球上著陸后，宇航員利用所攜帶的儀器又進行第二次測量，已知萬有引力常量為G，把月球看做球體．利用上述兩次測量所得的物理量可求出月球的密度和半徑．
（1）宇航員進行第二次測量的內容是什么．
（2）試推導月球的平均密度和半徑的表達式（用上述測量的物理量表示）．

Answer 1

分析 （1）宇航員在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數F，即為物體在月球上所受重力的大小g=$\frac{F}{m}$；
（2）飛船靠近月球表面做圓周運動有萬有引力充當向心力和密度公式，即萬有引力和重力的關系列式求解．

解答 解：①宇航員在月球上用彈簧秤豎直懸掛質量為m的鉤碼，靜止時讀出彈簧秤的讀數F，即為鉤碼在月球上所受重力的大小．（或F/m即為月球表面重力加速度的大�。�
②飛船靠近月球表面做圓周運動，根據萬有引力提供向心力得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$\frac{m•4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
月球的平均密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$ 
在月球上忽略月球的自轉時，對鉤碼有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=F
又 T=$\frac{t}{N}$，r=R，
由以上各式可得：月球的密度ρ=$\frac{3π{N}^{2}}{G{t}^{2}}$  
月球的半徑 R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{mN}^{2}}$
答：（1）宇航員進行第二次測量的內容是用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數F．
（2）月球的平均密度和半徑的表達式分別為ρ=$\frac{3π{N}^{2}}{G{t}^{2}}$，R=$\frac{F{t}^{2}}{4{π}^{2}{mN}^{2}}$．

點評 忽略自轉的情況下萬有引力等于物體所受的重力，這是經常用的方法要注意掌握．對于天體運動，關鍵建立模型，根據萬有引力提供向心力列式方程，求解有關物理量．