Question

10．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一點(diǎn)狀的放射源，它向xOy平面內(nèi)的x軸上方各個方向發(fā)射α粒子，α粒子的速度大小都是v₀，在0＜y＜d的區(qū)城內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E=$\frac{3m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$，其中q與m分別為α粒子的電荷量和質(zhì)量；在d＜y＜2d的區(qū)城內(nèi)分布有垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場．a(chǎn)b為一塊很大的平面感光板，放置于y=2d處，如圖所示，觀察發(fā)現(xiàn)此時(shí)恰無粒子打到ab板上．不考慮α粒子的重力，求：
（1）α粒子剛進(jìn)入磁場時(shí)的動能；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出α粒子剛進(jìn)人磁場時(shí)的動能．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場中類平拋運(yùn)動，求出進(jìn)入磁場中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）根據(jù)動能定理：$qEd=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$         
則末動能為：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=qEd+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2m v₀²
（2）根據(jù)題意可求得：v=2v₀
對于沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場時(shí)與x軸正方向夾角$θ=\frac{π}{3}$
其在電場中沿x軸方向的位移為：${x_1}={v_0}t=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}d$
該粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，根據(jù)幾何知識可知：若該粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板上，因此該粒子軌跡必與ab板相切，其圓周運(yùn)動的半徑滿足關(guān)系式：軌跡如圖：d=r+rcos60°
則：$r=\frac{2}{3}d$
又根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
得：$B=\frac{mv}{qr}=\frac{{3m{v_0}}}{qd}$
答：（1）α粒子剛進(jìn)入磁場時(shí)的動能是2m v₀²；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$．

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動的臨界情況，通過幾何關(guān)系解決，對學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．