Question

如圖，在區(qū)域I（0≤x≤d）和區(qū)域II（d≤x≤2d）內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一質(zhì)量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時(shí)刻從y軸上的P點(diǎn)射入?yún)^(qū)域I，其速度方向沿x軸正向。已知a在離開區(qū)域I時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；此時(shí)，另一質(zhì)量和電荷量均與a相同的粒子b也從p點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I，其速度大小是a的1/3。不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力。求
（1）粒子a射入?yún)^(qū)域I時(shí)速度的大�。�
（2）當(dāng)a離開區(qū)域II時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差。

Answer 1

解：（1）設(shè)粒子a在I內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為C（在y軸上），半徑為R_a1，粒子速率為v_a，運(yùn)動(dòng)軌跡與兩磁場(chǎng)區(qū)域邊界的交點(diǎn)為P'，如圖

由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得 ①　　
由幾何關(guān)系得�、�， ③，式中
由①②③式得 ④
（2）設(shè)粒子a在II內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O_a，半徑為R_a1，射出點(diǎn)為P_a（圖中未畫出軌跡），。由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得 ⑤
由①⑤式得 ⑥　
C、P'和O_a三點(diǎn)共線，且由⑥式知O_a點(diǎn)必位于 ⑦的平面上。由對(duì)稱性知，P_a點(diǎn)與P'點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，即 ⑧ 式中，h是C點(diǎn)的y坐標(biāo)
設(shè)b在I中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R_b1，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得 ⑨ 　
設(shè)a到達(dá)P_a點(diǎn)時(shí)，b位于P_b點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的角度為α。如果b沒有飛出I，則
⑩，，式中，t是a在區(qū)域II中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，而
，
由⑤⑨⑩式得
由①③⑨式可見，b沒有飛出。P_b點(diǎn)的y坐標(biāo)為
由①③⑧⑨式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差為