Question

14．一位勤于思考的同學(xué)，為探月宇航員設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)，一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧上端與質(zhì)量為m₁的物體A相連，下端與質(zhì)量為m₂的物體B相連，開始時(shí) A、B在豎直方向上處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)用豎直向上的拉力使 A以大小為a的加速度勻加速運(yùn)動(dòng)了時(shí)間t，此時(shí)B剛好離開地面（已知引力常數(shù)G，月球半徑為R，不計(jì)月球自轉(zhuǎn)）．請(qǐng)你求出：
①月球的質(zhì)量；
②月球的第一宇宙速度多大？

Answer 1

分析 （1）以B物體受力為突破口，當(dāng)A以大小為a的加速度勻加速運(yùn)動(dòng)了時(shí)間t，此時(shí)B剛好離開地面時(shí)B物體受彈簧的拉力與重力相等，求出A的位移進(jìn)而求出彈簧的拉力，然后可求出月球表面的重力加速度，再利用月球表面的物體萬有引力等于重力即可求出月球的質(zhì)量．
（2）環(huán)繞在月球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的宇宙飛船受的萬有引力提供向心力，這樣可求出月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）A、B處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，對(duì)A物體有：m₁g=kx₁，x₁為彈簧的壓縮量，
B剛好離開地面時(shí)，對(duì)B物體有：m₂g=kx₂，x₂為彈簧的伸長(zhǎng)量，
對(duì)A物體運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得月球表面的重力加速度：$g=\frac{ka{t}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
月球表面的物體重力等于萬有引力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$
解得月球的質(zhì)量$M=\frac{ka{t}^{2}{R}^{2}}{2G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$
（2）環(huán)繞在月球表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)宇宙飛船萬有引力提供向心力$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{R}$
解得月球的第一宇宙速度：v=$t\sqrt{\frac{kaR}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$
答：（1）月球的質(zhì)量為$M=\frac{ka{t}^{2}{R}^{2}}{2G（{m}_{1}+{m}_{2}）}$；
（2）月球的第一宇宙速度為$t\sqrt{\frac{kaR}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題的關(guān)鍵是正確的分析A、B物體的受力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，知道B物體剛好離開地面時(shí)重力等于拉力，用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出重力加速度，突破這一點(diǎn)解題成功了一大半，之后運(yùn)用重力等于萬有引力，萬有引力提供向心力即可求解月球的質(zhì)量、飛船的速率．