Question

5．如圖所示，在平面坐標系xOy內(nèi)，第Ⅱ象限內(nèi)存在沿y軸負方向的勻強電場，第Ⅳ象限內(nèi)存在有界的勻強磁場，磁場寬度為L，磁場方向垂直于坐標平面向里，磁感應該強度為B，一帶正電未知粒子從第Ⅱ象限中的P（-L，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$L）點以速度v₀沿x軸正方向射出，恰好從坐標原點O進入磁場，從N（L，0）點射出磁場．不計粒子重力．求：
（1）第Ⅱ象限內(nèi)所加電場強度E
（2）粒子在電場和磁場中運動的時間之比$\frac{t_1}{t_2}$=？
（3）離子進入磁場B后，某時刻再加一個同方向的勻強磁場B₁，使帶電粒子做完整的圓周運動，求所加磁場磁感應強度B₁的最小值．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)類平拋運動規(guī)律列出水平方向與豎直方向的運動方程，然后結合粒子在磁場中做圓周運動的特點即可求出；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，寫出其周期公式，然后結合$\frac{t}{T}=\frac{θ}{2π}$求出粒子在磁場中運動的時間，最后求出粒子在電場和磁場中運動的時間之比；
（3）粒子進入磁場，粒子軌跡恰好與磁場下邊界相切為臨界情況，由幾何關系得到半徑，由牛頓第二定律得到B₁的最小值．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中做類似平拋運動的時間：${t_1}=\frac{L}{v_0}$…①
沿y軸方向有：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}t_1^2$…②
帶電粒子到達O點時，${v_y}=a{t_1}=\sqrt{3}{v_0}$
所以v方向與x軸正方向的夾角α=60°
所以：v=2v₀ …③
帶電粒子進入磁場后做勻速圓周運動
由 $qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$ 
得：$r=\frac{mv}{qB}$…④
由幾何關系得：$r=\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$…⑤
由以上可式可求得：E=Bv₀
（2）在磁場中的時間  ${t_2}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3Bq}=\frac{2πr}{3v}=\frac{{\sqrt{3}πL}}{{9{v_0}}}$
$\frac{t_1}{t_2}$=$\frac{{3\sqrt{3}}}{π}$
（3）由$Bqυ=\frac{{m{υ^2}}}{r}$知，B越小，r越大．設帶電料子在磁場中最大半徑為R

由幾何關系得：$R=\frac{1}{4}r$
由牛頓運動定律得：$（B+{B_1}）qυ=\frac{{m{υ^2}}}{R}$
磁感應強度B₁的最小值為：B₁=3B
答：（1）第Ⅱ象限內(nèi)所加電場強度Bv₀；
（2）粒子在電場和磁場中運動的時間之比是$\frac{3\sqrt{3}}{π}$；
（3）所加磁場磁感應強度B₁的最小值是3B．

點評 帶電粒子在組合場中的運動問題，首先要運用動力學方法分析清楚粒子的運動情況，再選擇合適方法處理．對于勻變速曲線運動，常常運用運動的分解法，將其分解為兩個直線的合成，由牛頓第二定律和運動學公式結合求解；對于磁場中圓周運動，要正確畫出軌跡，由幾何知識求解半徑．