Question

15．中國著名物理學家、中國科學院院士何澤慧教授曾在1945年首次通過實驗觀察到正、負電子的彈性碰撞過程．有人設(shè)想利用電場、磁場控制正、負電子在云室中運動來再現(xiàn)這一過程．實驗設(shè)計原理如下：在如圖所示的xOy平面內(nèi)，A、C二小孔距原點的距離均為L，每隔一定的時間源源不斷地分別從A孔射入正電子，C孔射入負電子，初速度均為v₀，方向垂直x軸，正、負電子的質(zhì)量均為m，電荷量均為e（忽略電子之間的相互作用）．在y軸的左側(cè)區(qū)域加一水平向右的勻強電場，在y軸的右側(cè)區(qū)域加一垂直紙面的勻強磁場（圖中未畫出），要使正、負電子在y軸上的P（0，L）處相碰．求：
（1）磁感應(yīng)強度B的大小和方向；
（2）在P點相碰的正、負電子射入小孔的時間差△t；
（3）由A孔射入電場的正電子，有部分在運動過程中沒有與負電子相碰，最終打在x正半軸上D點，求OD間距離．

Answer 1

分析 （1）正電子進入電場后做類平拋運動，由牛頓第二定律和位移時間公式結(jié)合，即可求解電場強度E的大小．負電子進入磁場后做勻速圓周運動，由題可知軌跡半徑等于L，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求解B的大小，由左手定則判斷B的方向．
（2）正電子在電場中運動時，電場力對其做正功，由動能定理求出相碰前正電子的動能，由其豎直方向做勻速直線運動的規(guī)律，求解其運動時間，而負電子在磁場中運動時洛倫茲力不做功，動能不變，根據(jù)時間為$\frac{1}{4}$周期，從而可求出時間差．
（3）根據(jù)題意明確沒有相碰的電荷的運動軌跡，由幾何關(guān)系可求得OD間的距離．

解答 解：（1）對C處進入的負電子，由牛頓第二定律得：
ev₀B=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{L}$
可得：B=$\frac{m{v}_{0}}{eL}$
負電子在C點所受的洛倫茲力向左，由左手定則判斷可知磁場B的方向垂直紙面向外．
（2）對A處進入的正電子，由動能定理得：
EeL=E_kA-$\frac{{mv}_{0}^{2}}{2}$
所以 E_kA=$\frac{5m{v}_{0}^{2}}{2}$
而 E_kB=$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
故 $\frac{{E}_{kA}}{{E}_{kB}}=\frac{5}{1}$
從C進入的負電子運動的時間為：t_B=$\frac{90°}{360°}×\frac{2πL}{{v}_{0}}$=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$，
正電子在電場中運動的時間為：t_A=$\frac{L}{{v}_{0}}$
則△t=t_B-t_A=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$-$\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{（π-2）L}{2{v}_{0}}$
（3）正電子在電場中偏轉(zhuǎn)，$tanθ=\frac{v_y}{v_0}=\frac{at}{v_0}=2\frac{{\frac{1}{2}a{t^2}}}{{{v_o}t}}=2\frac{L}{L}=2$，
則$sinθ=\frac{2}{{\sqrt{5}}}，cosθ=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$
在P點沒有與負電子相碰的正電子，在第一象限的勻強磁場中順時針由P點運動到D點．
正電子在磁場中的軌道半徑為$r=\frac{{\sqrt{5}m{v_0}}}{qB}=\sqrt{5}R=\sqrt{5}L$，即$O'P=O'D=\sqrt{5}L$
在直角三角形PMO’中$\begin{array}{l}PM=rsinθ=2L\\ 則O'N=MO=PM-PO=L\\ MO'=rcosθ=ON=L\end{array}$
在直角三角形NDO′中，由勾股定理得O'D²=O'N²+ND²
即${（\sqrt{5}L）^2}={L^2}+N{D^2}$
得ND=2L
則OD=ON+ND=3L；
答：磁感應(yīng)強度B的大小是$\frac{m{v}_{0}}{eL}$，方向垂直紙面向外；
（2）P點相碰的正、負電子的動能之比是5：1，射入小孔的時間差△t是$\frac{（π-2）L}{2{v}_{0}}$；
（3）OD間距離為3L．

點評 解決本題的關(guān)鍵是抓住電場中偏轉(zhuǎn)與磁場中偏轉(zhuǎn)研究方法的不同，分別利用運動的合成與分解及圓周運動規(guī)律并結(jié)合動力學方法進行處理．