Question

質(zhì)量為m的小球B與質(zhì)量為2m的小球C之間用一根輕質(zhì)彈簧連接，現(xiàn)把它們放置在豎直固定的內(nèi)壁光滑的直圓筒內(nèi)，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示，設(shè)彈簧的彈性勢(shì)能與彈簧的形變量（即伸長(zhǎng)量或縮短量）的平方成正比．小球A從小球B的正上方距離為3x₀的P處自由落下，落在小球B上立刻與小球B粘連在一起向下運(yùn)動(dòng)，它們到達(dá)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)．已知小球A的質(zhì)量也為m時(shí)，它們恰能回到O點(diǎn)（設(shè)3個(gè)小球直徑相等，且遠(yuǎn)小于x₀，略小于直圓筒內(nèi)徑），問(wèn)小球A至少在B球正上方多少距離處自由落下，與B球粘連后一起運(yùn)動(dòng)，可帶動(dòng)小球C離開(kāi)筒底．

Answer 1

設(shè)小球A由初始位置下落至小球B碰撞前的速度為v₀，由機(jī)械能守恒得：
mg3x₀=

1

2

mv₀²  （1）
所以：v₀=

6gx0

  （2）
設(shè)小球A與小球B碰撞后共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒得：mv₀=2mv₁  （3）
所以：v₁=

1

2

6gx0

   （4）
設(shè)彈簧初始的彈性勢(shì)能為E_P，則碰撞后回到O點(diǎn)時(shí)機(jī)械能守恒得：
2mgx₀=

1

2

×2mv₁²+E_P   （5）
由（1）（3）（5）式可得：E_P=

1

2

mgx₀   （6）
小球B處于平衡時(shí)，有（設(shè)k為彈簧的勁度系數(shù)）
kx₀=mg    （7）
當(dāng)小球C剛好被拉離筒底時(shí)，有：
kx=2mg   （8）
由（7）（8）可知：x=2x₀    （9）
根據(jù)題中條件可知，小球C剛好被拉離筒底時(shí)，彈簧彈性勢(shì)能為：E'_P=4E_P   （10）
設(shè)小球A至少在B球正上方h處高處下落，且與小球B碰撞前速度為v₃，由機(jī)械能守恒，得：
mgh=

1

2

mv₃²   （11）
設(shè)小球A與小球B碰撞后共同速度為v₄
由動(dòng)量守恒可得：mv₃=2mv₄   （12）
由機(jī)械能守恒得：

1

2

×2mv₄²+E_P=E'_p+2mg×3x₀   （13）
由（6）（10）（11）（12）（13）可得：h=15x₀    （14）
答：小球至少距B球15x₀才能帶動(dòng)C離開(kāi)筒底．