Question

3．如圖所示，水平面xx′上豎直放著兩平行金屬板M，N，板間距離為L=1m，兩板間接一阻值為2Ω的電阻，在N板上開一小孔Q，在M，N及Q上方有向里勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₀=1T，在Nx′范圍內(nèi)有一45°分界線連接Q和水平面，NQ與分界線間有向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；N、水平面及分界線間有豎直向上的電場(chǎng)；現(xiàn)有一質(zhì)量為0.2kg的金屬棒搭在M、N之間并與MN良好接觸，金屬棒在MN之間的有效電阻為1Ω，M、N電阻不計(jì)，現(xiàn)用額定功率為P₀=9瓦的機(jī)械以恒定加速度a=1m/s²勻加速啟動(dòng)拉著金屬棒向上運(yùn)動(dòng)，在金屬棒達(dá)最大速度后，在與Q等高并靠近M板的P點(diǎn)釋放一個(gè)質(zhì)量為m電量為+q的離子，離子的比荷為20000C/kg，求：
（1）金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）
（2）離子剛出Q點(diǎn)時(shí)的速度；
（3）離子出Q點(diǎn)后，經(jīng)過磁場(chǎng)的豎直向上的電場(chǎng)作用下，剛好能打到分界線與水平面的交點(diǎn)K，過K后再也不回到磁場(chǎng)B中，求Q到水平面得距離及粒子在磁場(chǎng)B中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度達(dá)到最大，由E=BLv求出電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律球的電流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡條件求出金屬棒的速度，再根據(jù)v=at求出加速時(shí)間．
（2）由動(dòng)能定理可以求出離子的速度．
（3）離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出離子軌道半徑，然后求出Q到水平面的距離，求出離子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=B₀Lv，
安培力：F_安培=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
由P=Fv可知，拉力：F=$\frac{{P}_{0}}{v}$，
金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，由平衡條件得：
mg+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{P}_{0}}{v}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=3m/s  （v=-9m/s  舍去），
由v=at可知，時(shí)間：t=$\frac{v}{a}$=$\frac{3}{1}$=3.0s；
（2）MN間的電壓：U=IR=$\frac{{B}_{0}Lv}{R+r}$R=$\frac{1×1×3×2}{2+1}$=2V，
對(duì)離子，由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv′²-0，代入數(shù)據(jù)解得：v′=200$\sqrt{2}$m/s；
（3）離子在磁場(chǎng)中做勻速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：
qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得，軌道半徑：r=0.02$\sqrt{2}$m，

如圖所示，Q到水平面得距離：d=r=0.02$\sqrt{2}$m，
離子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
代入數(shù)據(jù)解得：T=2π×10^-4s，
離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$×10^-4s；
答：（1）金屬棒勻加速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3.0s；
（2）離子剛出Q點(diǎn)時(shí)的速度為200$\sqrt{2}$m/s；
（3）Q到水平面得距離為0.02$\sqrt{2}$m，粒子在磁場(chǎng)B中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{π}{2}$×10^-4s．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道基礎(chǔ)題，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，分析清楚金屬棒的運(yùn)動(dòng)過程，作出離子運(yùn)動(dòng)軌跡是正確解題的關(guān)鍵；處理粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，要作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．