Question

19．如圖1所示，小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）在光滑圓弧槽上的A、A′之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)，小球的運(yùn)動(dòng)視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，使用周期性外力驅(qū)動(dòng)小球，得出驅(qū)動(dòng)力頻率與振幅之間的關(guān)系如圖2所示，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率為f₀時(shí)小球振幅最大．撤去驅(qū)動(dòng)力，小球自由振動(dòng)，A、A′點(diǎn)為左右端點(diǎn)，D為最低點(diǎn)，A、A′點(diǎn)與圓心O的連線與豎直方向之間的夾角相等且均為θ，（θ＜5°），已知重力加速度g，求：
（1）光滑圓弧槽的半徑；
（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在最低點(diǎn)D和端點(diǎn)A處對(duì)光滑圓弧槽的壓力之比．

Answer 1

分析 （1）受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到共振，振幅達(dá)到最大．由圖2讀出共振時(shí)驅(qū)動(dòng)力的頻率，即為小球的固有頻率，再由單擺的頻率公式求圓弧槽的半徑；
（2）撤去驅(qū)動(dòng)力，小球自由振動(dòng)，在D點(diǎn)，由合力提供向心力．在A點(diǎn)，向心力為零，由牛頓定律求解．

解答 解：（1）由題可得，小球振動(dòng)的固有頻率為 f=f₀．
由于θ＜5°，所以撤去驅(qū)動(dòng)力后小球的振動(dòng)等效于擺長(zhǎng)等于圓弧槽的半徑的單擺振動(dòng)，則有：
f=$\frac{1}{2π}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
解得圓弧槽的半徑為：R=$\frac{g}{4{π}^{2}{f}_{0}^{2}}$
（2）從A到D，由機(jī)械能守恒定律得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N_D-mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 N_D=（3-2cosθ）mg
由牛頓第三定律可知，小球在D點(diǎn)對(duì)圓弧槽的壓力大小為：N_D′=N_D=（3-2cosθ）mg
在A點(diǎn)，速度為零，向心力為零，則有：N_A=mgcosθ
由牛頓第三定律可知，小球在A點(diǎn)對(duì)圓弧槽的壓力大小為：N_A′=N_A=mgcosθ
故$\frac{N{′}_{D}}{N{′}_{A}}$=$\frac{3-2cosθ}{cosθ}$
答：（1）光滑圓弧槽的半徑是$\frac{g}{4{π}^{2}{f}_{0}^{2}}$；
（2）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在最低點(diǎn)D和端點(diǎn)A處對(duì)光滑圓弧槽的壓力之比是$\frac{3-2cosθ}{cosθ}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要掌握共振的條件：驅(qū)動(dòng)力的頻率等于物體的固有頻率．對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)求力時(shí)，往往根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓定律結(jié)合解答．