Question

【題目】如圖所示，一對(duì)足夠大的金屬板M、N正對(duì)且豎直放置，兩極板分別接在大小可調(diào)的電源兩端，N極板右側(cè)分布有勻強(qiáng)磁場，磁場大小為B，方向垂直紙面向里，磁場區(qū)域放有一半徑為R的圓柱體，圓柱體的軸線與磁場方向平行，圓柱體的橫截面圓的圓心O到右極板N的距離為，在貼近左極板M處有足夠大的平行且?guī)ж?fù)電等離子束，在電場力的作用下無初速沿垂直于N極板（經(jīng)過特殊處理，離子能透過）射入磁場區(qū)域，已知所有離子的質(zhì)量均為m，電量為q，忽略離子的重力和離子間的相互作用力．求：

（1）若某個(gè)離子經(jīng)過N極板后恰好垂直打在圓柱體的最高點(diǎn)，則此時(shí)加在極板上的電源電壓；

（2）為了使所有的離子均不能打在圓柱體上，則電源電壓需滿足什么條件；

（3）若電源電壓調(diào)為，則從極板N上哪個(gè)范圍內(nèi)射出的離子能打在圓柱體上。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）在離O1上方不大于和在離O1下方不大于的范圍內(nèi)的離子均能打在圓柱體上

【解析】（1）設(shè)經(jīng)過極板加速后垂直打在圓柱體的最高點(diǎn)時(shí)速度為v1，由動(dòng)能定理知

由幾何關(guān)系知，離子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑

又

聯(lián)立得

（2）設(shè)所有離子剛好不能打在圓柱體上時(shí)速度為v2，軌跡如圖1，此時(shí)離子的軌跡半徑

由牛頓第二定律知

聯(lián)立得

則電源電壓需滿足

（3）若電源電壓調(diào)為，由、

得，離子的軌跡半徑r=3R

畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示，從O1上方P點(diǎn)、O1下方Q點(diǎn)射入的離子剛好打在圓柱體上，只有從PQ區(qū)間射入磁場的離子均能打在圓柱體上，由幾何關(guān)系知

則

同理可得

因此在離O1上方不大于和在離O1下方不大于的范圍內(nèi)的離子均能打在圓柱體上。