Question

14．如圖所示，以A、B和C、D為端點(diǎn)的半徑為R=0.6m的兩半圓形光滑絕緣軌道固定于豎直平面內(nèi)，B端、C端與光滑絕緣水平面平滑連接．A端、D端之間放一絕緣水平傳送帶，傳送帶下方B、C之間的區(qū)域存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)E=5×10⁵V/m．當(dāng)傳送帶以v₀=6m/s 的速度沿圖示方向勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，將質(zhì)量為m=4×10^-3kg，帶電量q=+1×10^-8C的小物塊由靜止放上傳送帶的最右端，小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)恰好能從A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，不計(jì)小物塊大小及傳送帶與半圓軌道間的距離，g取10m/s²，已知A、D端之間的距離為1.2m 等于水平傳送帶的長(zhǎng)．
（1）求小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)的速度的大�。�
（2）求小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（3）求小物塊第1次經(jīng)CD半圓形軌道到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度大�。�
（4）小物塊第幾次經(jīng)CD半圓形軌道到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度達(dá)到最大？最大速度為多少？

Answer 1

分析 （1）對(duì)小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)的速度的大小這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生一般會(huì)想把它作為DA段的末速u(mài)度來(lái)求，但是再進(jìn)一步就走不動(dòng)了，因?yàn)轭}目沒(méi)給DA段的摩擦力，也沒(méi)給摩擦因數(shù)，或者其他一些提示，比如說(shuō)摩擦力為重力的幾分之幾．因?yàn)椴恢�道摩擦力，所以�?dòng)能定理當(dāng)然也不能用．
因此個(gè)問(wèn)題就要再回到題目中仔細(xì)看題干，題干當(dāng)中有這樣一句：“小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)恰好能從A點(diǎn)沿半圓軌道滑下”，題眼就在這里了．句中的“恰好能從A點(diǎn)沿半圓軌道滑下”就是題眼，打開(kāi)這個(gè)題就從里開(kāi)始．（題眼找不到，題目就打不開(kāi)，余下的問(wèn)題一個(gè)都做不了，所以找出“題眼”很關(guān)鍵．）這句話涉及到我們?cè)趯W(xué)的繩桿模型問(wèn)題，我們區(qū)分繩桿模型的依據(jù)是這個(gè)裝置在最高點(diǎn)是否能為物體提供向上的支持力，所以這個(gè)軌道實(shí)際就是一個(gè)繩的模型．
而“恰好能從A點(diǎn)沿半圓軌道滑下”，說(shuō)明的是圓軌道AB的最高點(diǎn)A位置恰好是重力充當(dāng)向心力，由此可以解出小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)的速度的大�。�
（2）因?yàn)樵诘谝粏?wèn)已經(jīng)求的A點(diǎn)的速度，要求摩擦因數(shù)可以用DA段的運(yùn)動(dòng)了．第一問(wèn)的計(jì)算結(jié)果是：${v}_{A}=\sqrt{6}m/s$，它小于傳送帶的速度6m/s，所以可以知道摩擦力在全程做功，因此列出動(dòng)能定理方程，可以解得摩擦因數(shù)．
（3）這一問(wèn)要有全局觀念，我們可以選擇從D到A經(jīng)BC再回到D這個(gè)過(guò)程，來(lái)應(yīng)用一次動(dòng)能定理．這個(gè)過(guò)程中做功的力只有兩個(gè)，一個(gè)是傳送帶的摩擦力，一個(gè)就是電場(chǎng)力．兩個(gè)都好表示，列出動(dòng)能定理就可解得結(jié)果．
（4）先說(shuō)明一下，這一問(wèn)非常難，一般不會(huì)考到這個(gè)難度的題，即使現(xiàn)在作為高考的壓軸題也少見(jiàn)這個(gè)難度的．以前物理單獨(dú)考的時(shí)候有這個(gè)難度的，現(xiàn)在極少見(jiàn)了，不會(huì)的也不用氣餒．
來(lái)說(shuō)一下分析思路，物體會(huì)在n次加速之后回到D點(diǎn)時(shí)，速度等于傳送帶的速度，這之后，傳送帶不再給物體加速，只有電場(chǎng)還會(huì)給物體加速，經(jīng)電場(chǎng)加速之后物體第n+1次回到D點(diǎn)時(shí)，其速度就比傳送帶的速度要大．則傳送帶對(duì)物體的摩擦力就會(huì)變成阻力使其速度減小，直到和傳送帶的速度一樣．但是不可能出現(xiàn)減速后到A點(diǎn)速度仍比傳送帶的速度大的情況，因?yàn)檫@樣的話它再次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)加速到D點(diǎn)后速度一定比第n+1次回到D點(diǎn)時(shí)的速度大，這樣就無(wú)限循環(huán)速度就沒(méi)有最大值了

解答 解：（1）由題意，在小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)恰好能從A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，知圓軌道AB的最高點(diǎn)A位置恰好是重力充當(dāng)向心力：
$mg=\frac{{v}_{A1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{A1}=\sqrt{gR}=\sqrt{6}m/s$
（2）因${v}_{A1}=\sqrt{gR}=\sqrt{6}m/s＜6m/s$，所以物塊在傳送帶上從D到A摩擦力一直做功，由動(dòng)能定理得：
$μmgL=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：μ=0.25
（3）對(duì)整體即從D到A經(jīng)BC再回到D這個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理：
此過(guò)程中做功的有摩擦力和電場(chǎng)力
摩擦力做功為：W_f=μmgL
電場(chǎng)力做功為：W_E=qEL
由動(dòng)能定理得：${W}_{f}+{W}_{E}=\frac{1}{2}{mv}_{D1}^{2}$
由以上三式解得：v_D1=3m/s
（4）設(shè)第n次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度等于傳送帶的速度，由動(dòng)能定理得：
$nμmgL+nqEL=\frac{1}{2}{mv}_{Dn}^{2}$
解得：n=4
由于n=4是整數(shù)，說(shuō)明物塊第4次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度剛好等于傳送帶的速度．而后物塊隨傳送帶一起勻速運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，再次回到D點(diǎn)的速度為v_D，由動(dòng)能定理得：
$qELcos=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{39}m/s＞{v}_{0}$
這是第5次到達(dá)D點(diǎn)的速度，因?yàn)樗�大于傳送帶的速度所以傳送帶的摩擦力就變成了阻力，物塊在傳送帶上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)在傳送帶上前進(jìn)距離S后，速度減到與傳送帶速度相等．由動(dòng)能定理得：
$-μmgS=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}$
解得：S=0.6m
說(shuō)明物塊第5次到達(dá)D點(diǎn)后，在傳送帶上減速至中點(diǎn)時(shí)速度即和傳送帶速度相等，之后隨傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，以后的運(yùn)動(dòng)就重發(fā)上述過(guò)程，所以物塊第5次到達(dá)D點(diǎn)的速度最大，其最大速度為${v}_{D}=\sqrt{39}m/s$
答：（1）小物塊第一次運(yùn)動(dòng)到傳送帶最左端時(shí)的速度的大小為：$\sqrt{6}$m/s
（2）小物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為：0.25
（3）小物塊第1次經(jīng)CD半圓形軌道到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的速度大�。�3m/s
（4）物塊第5次到達(dá)D點(diǎn)的速度最大；最大速度為：$\sqrt{39}m/s$

點(diǎn)評(píng) 本題由兩個(gè)難點(diǎn)，一是在找到“題眼”解決第一問(wèn)，以此來(lái)打開(kāi)整個(gè)題目．這個(gè)還有點(diǎn)技巧可以用，就是要注意題目中一些臨界性質(zhì)的表述，比如常見(jiàn)到的“恰好”“剛好”“剛剛”等，指的就是一些臨界情況，解題應(yīng)予以關(guān)注．
二是在第4問(wèn)是個(gè)大難點(diǎn)，并且這個(gè)也沒(méi)什么技巧可用，全憑經(jīng)驗(yàn)和綜合分析能力了