Question

12．如圖所示，在x軸上方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里．在x軸下方存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向豎直向上．一個(gè)質(zhì)量為m，電荷量為q，重力不計(jì)的帶正電粒子從y軸上的a（h，0）點(diǎn)沿y軸正方向以某一初速度開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后，粒子與x軸正方向成45°進(jìn)入電場(chǎng)，當(dāng)粒子經(jīng)過y軸的b點(diǎn)時(shí)速度方向恰好與y軸垂直．求：
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和速度大小v；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（3）粒子從開始運(yùn)動(dòng)到第三次經(jīng)過x軸的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系及洛倫茲力提供向心力求解即可；
（2）粒子第一次經(jīng)過x軸的位置后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式以及幾何關(guān)系結(jié)合動(dòng)能定理求解；
（3）分別求出粒子第一次經(jīng)過x軸的時(shí)間、在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間以及第二次經(jīng)過x軸到第三次經(jīng)過x軸的時(shí)間，三者之和即為所求時(shí)間．

解答 解：（1）根據(jù)題意可大體畫出粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得，
rcos45°=h   ①
即r=$\sqrt{2}h$    ②
$q{v}_{1}B=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$    ③
解得${v}_{1}=\frac{qBr}{m}=\frac{\sqrt{2}qBh}{m}$     ④
（2）粒子第一次經(jīng)過x軸的位置為x₁，到達(dá)b點(diǎn)速度大小為v_b
粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，有
v_b=v₁cos45°    …⑤
所以${v}_=\frac{qBh}{m}$        …⑥
設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)經(jīng)過時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，b點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-y_b，
由類平拋運(yùn)動(dòng)得     r+rsin45°=v_bt        …⑦
${y}_=\frac{1}{2}（{v}_{1}sin45°+0）t=\frac{\sqrt{2}+1}{2}h$，…⑧
由動(dòng)能定理：$-qE{y}_=\frac{1}{2}m{{v}_}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$  …⑨
所以E=$\frac{（\sqrt{2}-1）qh{B}^{2}}{m}$      …⑩
（3）粒子在磁場(chǎng)中的周期為 T=$\frac{2πr}{{v}_{1}}=\frac{2πm}{qB}$     …⑪
第一次經(jīng)過x軸的時(shí)間${t}_{1}=\frac{5}{8}T=\frac{5πm}{4qB}$            …⑫
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間 ${t}_{2}=2t=\frac{2（\sqrt{2}+1）m}{qB}$       …⑬
在第二次經(jīng)過x軸到第三次經(jīng)過x軸的時(shí)間${t}_{3}=\frac{3}{4}T=\frac{3πm}{2qB}$  …⑭
所以總時(shí)間t_總=t₁+t₂+t₃=$（\frac{11π}{4}+2\sqrt{2}+2）\frac{m}{qB}$．
答：（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和速度大小v為$\frac{\sqrt{2}qBh}{m}$；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小E為$\frac{（\sqrt{2}-1）qh{B}^{2}}{m}$；
（3）粒子從開始運(yùn)動(dòng)到第三次經(jīng)過x軸的時(shí)間為$（\frac{11π}{4}+2\sqrt{2}+2）\frac{m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中兩運(yùn)動(dòng)模型：勻速圓周運(yùn)動(dòng)與類平拋運(yùn)動(dòng)，及相關(guān)的綜合分析能力，以及空間想像的能力，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．