Question

6．如圖所示，直徑分別為D和2D的同心圓處于同一豎直面內(nèi)，O為圓心，GH為大圓的水平直徑．兩圓之間的環(huán)形區(qū)域（Ⅰ區(qū)）和小圓內(nèi)部（Ⅱ區(qū)）均存在垂直圓面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．間距為d的兩平行金屬極板間有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，上級(jí)板開(kāi)有一小孔．一質(zhì)量為m，電量為+q的粒子由小孔下方$\fracp7br5ln{2}$處?kù)o止釋放，加速后粒子以豎直向上的速度v射出電場(chǎng)，由H點(diǎn)緊靠大圓內(nèi)側(cè)射入磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力．
（1）求極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；
（2）若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與小圓相切，求Ⅰ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（3）若Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為$\frac{2mv}{qD}$、$\frac{4mv}{qD}$，粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后再次經(jīng)過(guò)H點(diǎn)，求這段時(shí)間粒子運(yùn)動(dòng)的路程．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做加速運(yùn)動(dòng)；根據(jù)動(dòng)能定理可求得電場(chǎng)強(qiáng)度的大��；
（2）明確兩種可能的相切情況，即可求得半徑；根據(jù)洛侖茲充當(dāng)向心力求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）分析粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)周期明確經(jīng)過(guò)的圓心角，再由圓的性質(zhì)明確對(duì)應(yīng)的路程．

解答 解：（1）設(shè)極板間電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，對(duì)粒子在電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可得：
qE$\fracjltxlh3{2}$=$\frac{1}{2}$mv²
解得：E=$\frac{m{v}^{2}}{qd}$
（2）設(shè)I區(qū)內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)大小為B，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
如圖甲所示，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與小圓相切有兩種情況，若粒子軌跡與小圓外切，由幾何關(guān)系可得：
R=$\frac{D}{4}$；
解得：B=$\frac{4mv}{qD}$；
若粒子軌跡與小圓內(nèi)切，由幾何關(guān)系得：
R=$\frac{3}{4}D$；
解得：B=$\frac{4mv}{3qD}$
（3）設(shè)粒子在I區(qū)和II區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R₁、R₂，由題意可知，I區(qū)和II內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B₁=$\frac{2mv}{qD}$；B₂=$\frac{4mv}{qD}$；由牛頓第二定律可得：
qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
代入解得：R₁=$\frac{D}{2}$，R₂=$\frac{D}{4}$；
設(shè)粒子在I區(qū)和II區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為T(mén)₁、T₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
T₁=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$，T₂=$\frac{2π{R}_{2}}{v}$
由題意分析，粒子兩次與大圓相切的時(shí)間間隔的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，由對(duì)稱性可知，I區(qū)兩段圓弧所對(duì)圓心角相同，設(shè)為θ₁，II區(qū)內(nèi)所對(duì)圓心角設(shè)為θ₂，圓弧和大圓的兩個(gè)切點(diǎn)與圓心O連線間的夾角為α，由幾何關(guān)系可得：
θ₁=120°
在區(qū)域II中恰好經(jīng)過(guò)了半個(gè)圓周，故θ₂=180°
α=60°
粒子重復(fù)上述交替運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)，設(shè)粒子I區(qū)和II區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分別為t₁、t₂，可得：
t₁=$\frac{360°}{α}$×$\frac{2{θ}_{1}}{360°}$T₁，t₂=$\frac{360}{α}$×$\frac{{θ}_{2}}{360°}$T₂
設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)的路程為s，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得s=v（t₁+t₂）
聯(lián)立解得：s=5.5πD
答：（1）極板間電場(chǎng)強(qiáng)度的大小$\frac{m{v}^{2}}{qd}$；
（2）若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與小圓相切，Ⅰ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小$\frac{4mv}{qD}$或$\frac{4mv}{3qD}$；
（3）若Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為$\frac{2mv}{qD}$、$\frac{4mv}{qD}$，粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后再次經(jīng)過(guò)H點(diǎn)，這段時(shí)間粒子運(yùn)動(dòng)的路程5.5πD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，要注意明確洛侖茲力充當(dāng)向心力的應(yīng)用，同時(shí)要注意分析可能的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，特別是具有對(duì)稱性的性質(zhì)要注意把握．