Question

15．某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來研究碰撞問題，其模型如圖所示，光滑軌道中間部分水平，右側(cè)為位于豎直平面內(nèi)半徑為R的半圓，在最低點(diǎn)與直軌道相切．5個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列靜置于水平部分，球間有微小間隔，從左到右，球的編號依次為0、1、2、3、4，球的質(zhì)量依次遞減，每球質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k（k＜1）．將0號球向左拉至左側(cè)軌道距水平高h(yuǎn)處，然后由靜止釋放，使其與1號球碰撞，1號球再與2號球碰撞…所有碰撞皆為無機(jī)械能損失的正碰（不計(jì)空氣阻力，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g）．
（1）0號球與1號球碰撞后，1號球的速度大小v₁；
（2）若已知h=1.0m，R=0.64m，要使4號球碰撞后能過右側(cè)軌道的最高點(diǎn)，問k值為多少？

Answer 1

分析 （1）0號球下滑過程機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律可以求出它滑到水平面時(shí)的速度，兩球碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出球的速度．
（2）求出4號球的速度，然后應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律求出k．

解答 解：（1）0號球碰前速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律得：m₀gh=$\frac{1}{2}$m₀v₀²，
碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：m₀v₀=m₀v₀′+m₁v₁，
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₀v₀²=$\frac{1}{2}$m₀v₀′²+$\frac{1}{2}$m₁v₁²，
解得：v₁=$\frac{2{m}_{0}}{{m}_{0}+{m}_{1}}$v₀=$\frac{2}{1+k}$v₀=$\frac{2}{1+k}$$\sqrt{2gh}$，
（2）同理可得：v₂=$\frac{2}{1+k}$v₁，…v₄=$\frac{2}{1+k}$v₃，
解得：v₂=（$\frac{2}{1+k}$）⁴v₀，
4號球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)過程，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m₄v₄²=$\frac{1}{2}$m₄v²+m₄g•2R，
4號球在最高點(diǎn)：${m}_{4}\frac{{v}_{4}^{2}}{R}$≥m₄g，
解得：k≤$\sqrt{2}$-1；
答：（1）0號球與1號球碰撞后，1號球的速度大小v₁為$\frac{2}{1+k}$$\sqrt{2gh}$；
（2）若已知h=1.0m，R=0.64m，要使4號球碰撞后能過右側(cè)軌道的最高點(diǎn)，k值為：k≤$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評 本題考查了求速度、求k，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與動(dòng)量守恒定律、牛頓第二定律即可正確解題．