Question

4．如圖1所示，兩物塊A、B套在水平粗糙的CD桿上，并用不可伸長(zhǎng)的輕繩連接，整個(gè)裝置能繞過CD中點(diǎn)的軸OO₁轉(zhuǎn)動(dòng)，已知兩物塊質(zhì)量相等均為m，桿CD對(duì)物塊A、B的最大靜摩擦力大小相等且動(dòng)摩擦系數(shù)為μ．開始時(shí)繩子處于自然長(zhǎng)度（繩子恰好伸直但無彈力），物塊B到OO₁軸的距離為2L，物塊A到OO₁軸的距離為L(zhǎng)，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，使轉(zhuǎn)速逐漸增大，求：
（1）當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大值的時(shí)候，角速度是多少？
（2）當(dāng)A的摩擦力為0的是時(shí)候，角速度是多少？
（3）當(dāng)AB即將滑動(dòng)的時(shí)候，角速度是多少？
（4）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過計(jì)算在圖2坐標(biāo)圖中畫出A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象．
（5）當(dāng)AB即將滑動(dòng)時(shí)，若把繩剪斷，請(qǐng)判斷A和B是否還能與桿保持相對(duì)靜止．

Answer 1

分析 （1）先分析AB兩物體誰先能達(dá)到最大靜摩擦力，并以此物體為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析，結(jié)合牛頓第二定律即可得知此時(shí)的角速度
（2）對(duì)AB分別利用牛頓第二定律列式，聯(lián)立可得知當(dāng)A的摩擦力為0的是時(shí)候的角速度
（3）當(dāng)AB即將滑動(dòng)的時(shí)候，分別對(duì)AB進(jìn)行受力分析，AB分別利用牛頓第二定律列式，聯(lián)立可得知此時(shí)的角速度
（4）結(jié)合前三問的解答，可畫出A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象
（5）結(jié)合（3）的解答，先計(jì)算出此時(shí)AB兩物體的向心力，當(dāng)繩子剪斷后，結(jié)合此時(shí)桿對(duì)AB能提供的最大靜摩擦，可得知A和B是否還能與桿保持相對(duì)靜止

解答 解：（1）開始時(shí)，繩子的拉力為零，由于B的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑大于A的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，故B需要的向心力大于A（AB兩物體質(zhì)量均為m），故B先達(dá)到最大靜摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律可知：
μmg=mω₁²•2L，
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$
（2）根據(jù)牛頓第二定律，
對(duì)A有：T=mω₂²L
對(duì)B有：T+μmg=mω₂²•2L
聯(lián)立解得：ω₂=$\sqrt{\frac{μg}{L}}$
（3）當(dāng)角速度增大時(shí)，AB即將滑動(dòng)時(shí)（B沿半徑向外滑動(dòng)，A沿半徑向里滑動(dòng)），此時(shí)A受到的摩擦力為μmg，方向沿半徑向外，則對(duì)A有：
T′-μmg=m${ω}_{3}^{2}$L
此時(shí)B受到的摩擦力為μmg，方向沿半徑向里，對(duì)B有：
T′+μmg=m${ω}_{3}^{2}$•2L
聯(lián)立以上兩式得：ω₃=$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$
T′=3μmg
（4）通過以上計(jì)算，可知當(dāng)角速度為$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$時(shí)，B達(dá)到了就大靜摩擦力，為μmg，方向指向轉(zhuǎn)軸，此時(shí)A的摩擦力為$\frac{μmg}{2}$，方向指向轉(zhuǎn)軸；
當(dāng)角速度為$\sqrt{\frac{μg}{L}}$時(shí)，B的靜摩擦力為μmg，方向指向轉(zhuǎn)軸，此時(shí)A的摩擦力為0；
當(dāng)角速度為$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$時(shí)，B的靜摩擦力為μmg，方向指向轉(zhuǎn)軸，此時(shí)A的摩擦力大小為μmg，方向背向轉(zhuǎn)軸；
A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象如右圖所示
（5）有第（3）可知，當(dāng)AB都將要滑動(dòng)時(shí)，繩子的拉力為T′=3μmg
此時(shí)A的向心力為：f_A向=T′-μmg=2μmg
此時(shí)B的向心力為：f_B向=T′+μmg=4μmg
若把繩子剪斷，桿對(duì)AB能產(chǎn)生的最大摩擦力為μmg，所以AB均不能與桿保持靜止．
答：（1）當(dāng)B的摩擦力達(dá)到最大值的時(shí)候，角速度是$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$
（2）當(dāng)A的摩擦力為0的是時(shí)候，角速度是$\sqrt{\frac{μg}{L}}$
（3）當(dāng)AB即將滑動(dòng)的時(shí)候，角速度是$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$
（4）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關(guān)系圖象如圖所示．
（5）當(dāng)AB即將滑動(dòng)時(shí)，若把繩剪斷，A和B均不能與桿保持相對(duì)靜止

點(diǎn)評(píng) 向心力是從力的作用效果來命名的，因?yàn)樗�產(chǎn)生指向圓心的加速度，所以稱它為向心力．它不是具有確定性質(zhì)的某種類型的力．相反，任何性質(zhì)的力都可以作為向心力．實(shí)際上它可是某種性質(zhì)的一個(gè)力，或某個(gè)力的分力，還可以是幾個(gè)不同性質(zhì)的力沿著半徑指向圓心的合外力．
同時(shí)要熟練的掌握向心力的表達(dá)式：F_向=ma=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mω²R=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=4mπ²f²R=mω²v=4π²mn²R
其中：v為線速度，單位m/s，ω為角速度，單位rad/s，m為物體質(zhì)量，單位kg，r為物體的運(yùn)動(dòng)半徑，單位m，T為圓周運(yùn)動(dòng)周期，單位s，f為圓周運(yùn)動(dòng)頻率，單位Hz，n為圓周運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)速（即頻率），單位r/s．