Question

2．某星球的質量約為地球的6倍，半徑約為地球的1.5倍，在該星球表面進行如下實驗：如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內的半圓形導軌在B點相切，半圓形導軌的半徑為R．一個質量為m的物體將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右的速度后脫離彈簧，當它經過B點進入導軌的瞬間對軌道的壓力為其在星球上受到重力的7倍，之后向上運動恰能到達最高點C．（已知地球表面重力加速度g，不計空氣阻力）求：
（1）該星球表面的重力加速度g′；
（2）物體在A點時彈簧的彈性勢能；
（3）物體從B點運動至C點的過程中產生的內能．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力等于重力，得到星球表面重力加速度和地球表面重力加速度表達式，再運用比例法求該星球表面的重力加速度g′；
（2）物體經過B點，由合力提供向心力，根據牛頓第二定律得出B點的速度，結合能量守恒定律求出物體在A點時的彈簧的彈性勢能；
（3）物體恰好通過最高點C，根據牛頓第二定律求出C點的速度，通過能量守恒定律求出物體從B點運動至C點的過程中產生的內能．

解答 解：（1）據萬有引力等于重力，
在地球表面有：G$\frac{Mm}{R^2}$=mg
在星球表面有：G$\frac{M'm}{{R{'^2}}}$=mg'
兩式相比解得：g′=$\frac{8}{3}$g
（2）在B點，據牛頓第二定律得：
7mg'-mg'=m$\frac{{{v_B}^2}}{R}$
物塊與彈簧組成的系統(tǒng)在AB段機械能守恒得：E_P彈=$\frac{1}{2}m{v_B}$²
解得，彈簧的彈性勢能為：E_P彈=8mgR
（3）物體恰能過C點，則有：mg'=m$\frac{{{v_C}^2}}{R}$
從B到C過程中，對物塊，由動能定理得：
-mg'2R-W_f=$\frac{1}{2}m{v_C}^2-\frac{1}{2}m{v_B}$²
又-W_f=Q
解得：Q=$\frac{4}{3}$mgR
答：（1）該星球表面的重力加速度g′是$\frac{8}{3}$g；
（2）物體在A點時彈簧的彈性勢能是8mgR；
（3）物體從B點運動至C點的過程中產生的內能是$\frac{4}{3}$mgR．

點評 解決本題的關鍵有二：一、掌握萬有引力等于重力．二、明確圓周運動向心力的來源，知道物體恰好通過圓周的最高點的臨界條件是：重力等于向心力．