Question

【題目】如圖所示，在xOy平面坐標(biāo)系中，x軸上方存在電場(chǎng)強(qiáng)度E=1000V/m、方向沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；在x軸及與x軸平行的虛線PQ之間存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度為d．一個(gè)質(zhì)量m=2×108kg、帶電量q=+1.0×105C的粒子從y軸上(0,0.04)的位置以某一初速度v0沿x軸正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力．

（1）若v0=200m/s．①求粒子第一次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的大小和方向；

②若該粒子恰好無(wú)法穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，求磁場(chǎng)的寬度d；

③求粒子由磁場(chǎng)第一次返回電場(chǎng)時(shí)，經(jīng)過(guò)x軸的坐標(biāo)；

（2）試證明：只要粒子能夠返回電場(chǎng)區(qū)域，則其在磁場(chǎng)中的軌跡對(duì)應(yīng)x軸上的弦長(zhǎng)為一定值；

（3）要使以大小不同的初速度（包括初速度為v0）射入電場(chǎng)的粒子都能經(jīng)磁場(chǎng)區(qū)域后返回電場(chǎng)，求磁場(chǎng)的最小寬度d．

Answer 1

【答案】（1）①m/s，方向與x軸成45角②0.4m③0.32，0（2）2ah（3）0.2m

【解析】試題分析：（1）①粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可求解進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；②作粒子的在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡圖象，當(dāng)運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與磁場(chǎng)邊界相切，則粒子無(wú)法穿越磁場(chǎng)，根據(jù)牛頓第二定律和幾何關(guān)系即可求解磁場(chǎng)寬度d；③根據(jù)幾何關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)牛頓第二定律和幾何關(guān)系進(jìn)行求解；（3）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌跡半徑r．當(dāng)初速度為0時(shí)粒子最容易穿過(guò)磁場(chǎng)． 要使以大小不同初速度射入電場(chǎng)的粒子都能經(jīng)磁場(chǎng)返回，磁場(chǎng)的最小寬度d=r．

（1）①帶電粒子垂直進(jìn)入電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)

根據(jù)牛頓第二定律得：

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：

聯(lián)立解得：

粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)豎直分速度大小為：

根據(jù)幾何關(guān)系有：

代入數(shù)據(jù)解得：

，即

故粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為，方向與x軸成角

②作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖如圖所示

當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)邊界時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與磁場(chǎng)邊界相切，此時(shí)粒子恰好無(wú)法穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，在磁場(chǎng)中由牛頓第二定律得：

解得：

根據(jù)幾何關(guān)系得：

解得：

③由幾何關(guān)系可得：

做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為

故粒子由磁場(chǎng)第一次返回電場(chǎng)時(shí)，經(jīng)過(guò)x軸的坐標(biāo)為

（2）只要粒子能夠返回電場(chǎng)區(qū)域，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖與（1）問(wèn)中的圖類(lèi)似

則此時(shí)對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為，而

解得：

根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：

解得：

代入數(shù)據(jù)解得： 為一定值

（3）當(dāng)初速度為0時(shí)粒子最容易穿過(guò)磁場(chǎng)

根據(jù)，

解得：

要使所有帶電粒子都返回電場(chǎng)，磁場(chǎng)的最小寬度為：d=0.2m