Question

14．如圖所示，由A、B兩平行金屬板構(gòu)成的電容器放置在真空中，電容為C，原來不帶電．電容器的A板接地，并且中心有一個小孔，通過這個小孔向電容器中射入電子，射入的方向垂直于極板，射入的速度為v₀，如果電進(jìn)行的，即第一個電子到達(dá)B板后再發(fā)射第二個電子，并且所有到達(dá)板的電子都留在B板上．隨著電子的射入，兩極板間的電勢差逐漸增加，直至達(dá)到一個穩(wěn)定值，已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為q，電子所受的重力忽略不計，兩板的距離為d，
（1）當(dāng)板上聚集了n個射來的電子時，兩板間電場的場強(qiáng)E多大？
（2）最多能有多少個電子到達(dá)B板？
（3）到達(dá)B板的第一個電子在兩板間運(yùn)動的時間和最后一個電子在兩板間運(yùn)動的時間相差多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)B板吸收了N個電子時電容器所帶電荷量為Q=Ne，由電容的定義式C=$\frac{Q}{U}$求電勢差，由E=$\frac{U}fdqias1$求出場強(qiáng)E．
（2）電子經(jīng)過U₀的電壓加速后，進(jìn)入A、B板間的動能為eU₀，進(jìn)入A、B板間電場后做減速運(yùn)動．隨著B板電荷增加，電子在A、B間的加速度越來越大，直至電子到達(dá)B板的速度為零，此時A、B板間的電壓達(dá)到最大值U_m根據(jù)動能定理求解．
（3）第一個電子在兩板間作勻速運(yùn)動，最后一個電子在兩板間作勻減速運(yùn)動，到達(dá)B板時速度為零，由運(yùn)動學(xué)求解時間差．

解答 解：（1）當(dāng)B板上聚集了n個射來的電子時，兩板間的電勢差為：U=$\frac{Q}{C}$=$\frac{ne}{C}$，
內(nèi)部電場為勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為：E=$\frac{U}qt1a6rz$=$\frac{ne}{Cd}$；
（2）設(shè)最多能聚集N+1個電子，第N+1個射入的電子到達(dá)B板時速度減為零．此時兩板間的電勢差為：U₁=$\frac{{Q}_{1}}{C}$=$\frac{Ne}{C}$，
對此后再射入的電子，根據(jù)動能定理有：-eU₁=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
聯(lián)立解得：N=$\frac{Cm{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}}$，
故最多能到達(dá)B板的電子數(shù)為：N_m=N+d=$\frac{Cm{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}}$+d；
（3）第一個電子在兩板間作勻速運(yùn)動，
運(yùn)動時間為：t₁=$\fracatgdviq{{v}_{0}}$，
最后一個電子在兩板間作勻減速運(yùn)動，到達(dá)B板時速度為零，運(yùn)動時間為：t₂=$\fracr6zw0s5{{v}_{0}}$=$\frac{2d}{{v}_{0}}$，
二者時間差為：△t=t₂-t₁=$\fracwpczrzl{{v}_{0}}$．
答：（1）當(dāng)板上聚集了n個射來的電子時，兩板間電場的場強(qiáng)E為$\frac{ne}{Cd}$．
（2）最多能有$\frac{Cm{v}_{0}^{2}}{2{e}^{2}}$+d個電子到達(dá)B板．
（3）到達(dá)B板的第一個電子在兩板間運(yùn)動的時間和最后一個電子在兩板間運(yùn)動的時間相差$\fraca57dvhz{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在電場中直線加速和減速與電容器有關(guān)知識的綜合，關(guān)鍵要掌握電容的定義式C=$\frac{Q}{U}$，并運(yùn)用動能定理求解．