Question

15．回旋加速器在粒子物理研究中有重要的作用，其基本原理簡(jiǎn)化為如圖所示的模型．相距為d的狹縫P、Q間存在著方向始終與P、Q平面垂直、電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且電場(chǎng)的方向按一定規(guī)律變化．狹縫兩側(cè)均有磁感強(qiáng)度大小相等、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．某時(shí)刻從P平面處由靜止釋放一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為q的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力），粒子被加速后由A點(diǎn)進(jìn)入Q平面右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)，以半徑r₁做圓周運(yùn)動(dòng)．當(dāng)粒子由A₁點(diǎn)自右向左通過Q平面時(shí)，電場(chǎng)的方向反向，使粒子再次被加速進(jìn)入P平面左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)做圓周運(yùn)動(dòng)，粒子經(jīng)半個(gè)圓周后通過P平面進(jìn)入PQ狹縫又被加速，…．以后粒子每次通過PQ間都被加速．求：
（1）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）粒子第一次和第二次自右向左通過Q平面的位置A₁和A₂之間的距離；
（3）粒子從開始到第n次恰好穿過電場(chǎng)所用的時(shí)間T_n．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中直線加速，根據(jù)動(dòng)能定理列式；在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律列式；最后聯(lián)立求解；
（2）先根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解軌道半徑，然后結(jié)合幾何關(guān)系求解A₁和A₂之間的距離；
（3）從開始到第n次恰好穿過電場(chǎng)經(jīng)歷了n段勻加速直線運(yùn)動(dòng)和n-1個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不變，在電場(chǎng)中根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解即可．

解答 解：（1）粒子由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后第一次通過Q平面時(shí)的速度為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
粒子在Q側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)磁場(chǎng)為B，有：
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：
B=$\frac{1}{{r}_{1}}\sqrt{\frac{2mEd}{q}}$
（2）設(shè)粒子經(jīng)A₁并加速后進(jìn)入P平面左側(cè)區(qū)的速度為v₂，有：
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
設(shè)粒子在P左側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₂，有：
$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$
粒子在P、Q間經(jīng)第三次加速后進(jìn)入Q右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)的速度為v₃，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₃，有：
$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
$q{v}_{3}B=m\frac{{v}_{3}^{2}}{{r}_{3}}$ 
A₂與A₁之間的距離為：
A₂A₁=2r₃-2r₂
A₂A₁=2（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）r₁
（3）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T
T=$\frac{2πm}{qB}$=$π{r}_{1}\sqrt{\frac{2m}{qEd}}$
第一次恰好穿過電場(chǎng)所用的時(shí)間為t₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：
d=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{r}_{1}^{2}$
從開始到第二次恰好穿過電場(chǎng)共經(jīng)歷了兩段勻加速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)二分之一圓周運(yùn)動(dòng)
$2d=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{r}_{2}^{2}$
所用時(shí)間為T₂=t₂+$\frac{T}{2}$
從開始到第n次恰好穿過電場(chǎng)經(jīng)歷了n段勻加速直線運(yùn)動(dòng)和n-1個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，故：
nd=$\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{r}_{n}^{2}$
所用時(shí)間為：T_n=t_n+$\frac{T}{2}（n-1）$=$\sqrt{\frac{2ndm}{qE}}$+$\frac{（n-1）π{r}_{1}}{2}\sqrt{\frac{2m}{qEd}}$
答：（1）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{1}{{r}_{1}}\sqrt{\frac{2mEd}{q}}$；
（2）粒子第一次和第二次自右向左通過Q平面的位置A₁和A₂之間的距離為2（$\sqrt{3}-\sqrt{2}$）r₁；
（3）粒子從開始到第n次恰好穿過電場(chǎng)所用的時(shí)間T_n為$\sqrt{\frac{2ndm}{qE}}$+$\frac{（n-1）π{r}_{1}}{2}\sqrt{\frac{2m}{qEd}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確回旋加速器的原理，在電場(chǎng)中是加速，在磁場(chǎng)中是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解，本題中電場(chǎng)中加速時(shí)間不能忽略．