Question

在相對于實(shí)驗室靜止的平面直角坐標(biāo)系S中，有一個光子，沿x軸正方向射向一個靜止于坐標(biāo)原點(diǎn)O的電子．在y軸方向探測到一個散射光子．已知電子的靜止質(zhì)量為m₀，光速為c，入射光子的能量與散射光子的能量之差等于電子靜止能量的1/10．
（1）試求電子運(yùn)動速度的大小v，電子運(yùn)動的方向與x軸的夾角θ；電子運(yùn)動到離原點(diǎn)距離為L₀（作為已知量）的A點(diǎn)所經(jīng)歷的時間△t．
（2）在電子以1中的速度v開始運(yùn)動時，一觀察者S′相對于坐標(biāo)系S也以速度v沿S中電子運(yùn)動的方向運(yùn)動（即S′相對于電子靜止），試求S′測出的OA的長度．

Answer 1

分析：根據(jù)題設(shè)條件和能量與速度關(guān)系計算電子運(yùn)動的速度，根據(jù)運(yùn)動情況作圖，結(jié)合能量守恒列方程組計算電子的運(yùn)動方向，根據(jù)速度的定義式計算O到A的時間．
根據(jù)相對論的尺縮效應(yīng)計算S′測出的OA的長度．

解答：解：（1）由能量與速度關(guān)系及題給條件可知運(yùn)動電子的能量為
 

m0c2

1- v2 c2

=1.10m0c2                         （1）
由此可解得
v=

0.21

1.10

=0.417c≈0.42c                            （2）
入射光子和散射光子的動量分別為p=

hv

c

和p′=

hv′

c

，方向如圖所示．電子的動量為mv，m為運(yùn)動電子的相對論質(zhì)量．由動量守恒定律可得
    

m0v

1- v2 c2

cosθ=

hv

c

                   （3）

m0v

1- v2 c2

sinθ=

hv′

c

                   （4）
已知hv-hv′=0.10m0c2               （5）
由（2）、（3）、（4）、（5）式可解得
v=

0.37m0c2

h

                                      （6）
v′=

0.27m0c2

h

                                     （7）
θ=tan-1

v′

v

=arctan(

27

37

)=36.1°                      （8）
電子從O點(diǎn)運(yùn)動到A所需時間為
△t=

L0

v

=

2.4L0

c

                                    （9）
（2）當(dāng)觀察者相對于S沿OA方向以速度v運(yùn)動時，由狹義相對論的長度收縮效應(yīng)得
L=L0

1- v2 c2

                                     （10）
L=0.91L₀                                          （11）
答：（1）電子運(yùn)動速度的大小v為0.42c，電子運(yùn)動的方向與x軸的夾角θ為36.1°；
電子運(yùn)動到離原點(diǎn)距離為L₀（作為已知量）的A點(diǎn)所經(jīng)歷的時間△t為

2.4L0

c

．
（2）在電子以1中的速度v開始運(yùn)動時，一觀察者S′相對于坐標(biāo)系S也以速度v沿S中電子運(yùn)動的方向運(yùn)動（即S′相對于電子靜止），則S′測出的OA的長度為0.91L₀．

點(diǎn)評：第19屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽題．在電子以1中的速度v開始運(yùn)動時，觀察者S′相對于坐標(biāo)系S也以速度v沿S中電子運(yùn)動的方向運(yùn)動，狹義相對論的長度收縮效應(yīng)，此時S′測出的OA的長度肯定要小于L₀．