Question

11．如圖所示，半徑為R的光滑圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，AB、CD是圓環(huán)相互垂直的兩條直徑，C、D兩點(diǎn)與圓心O等高．一個(gè)質(zhì)量為m的光滑小球套在圓環(huán)上，一根輕質(zhì)彈簧一端連在小球上，另一端固定在P點(diǎn)，P點(diǎn)在圓心O的正下方$\frac{R}{2}$處．小球從最高點(diǎn)A由靜止開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较蛳禄�，己知彈簧的原長(zhǎng)為R，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的有（　�。�

• A． 彈簧長(zhǎng)度等于R時(shí)，小球的動(dòng)能最大
• B． 小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gR}$
• C． 小球在A、B兩點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力差為4mg
• D． 小球從A到C的過(guò)程中，彈簧對(duì)小球做的功等于小球機(jī)械能的增加量

Answer 1

分析 通過(guò)分析小球的受力情況，分析小球速度的變化，從而判斷出動(dòng)能的變化情況．小球通過(guò)A和B兩點(diǎn)時(shí)，彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢(shì)能相等，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度．根據(jù)牛頓第二定律和第三定律求小球在A、B兩點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力差．在小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，彈簧的彈力對(duì)小球做功等于小球機(jī)械能的增量．

解答 解：A、彈簧長(zhǎng)度等于R時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，在此后的過(guò)程中，小球的重力沿軌道的切向分力大于彈簧的彈力沿軌道切向分力，小球仍在加速，所以彈簧長(zhǎng)度等于R時(shí)，小球的動(dòng)能不是最大．故A錯(cuò)誤．
B、由題可知，小球在A、B兩點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢(shì)能相等，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，解得，小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度 v_B=2$\sqrt{gR}$．故B錯(cuò)誤．
C、設(shè)小球在A、B兩點(diǎn)時(shí)彈簧的彈力大小為F．在A點(diǎn)，圓環(huán)對(duì)小球的支持力 F₁=mg+F；
在B點(diǎn)，由圓環(huán)，由牛頓第二定律得：F₂-mg-F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得，圓環(huán)對(duì)小球的支持力 F₂=5mg+F；
則F₂-F₁=4mg，由牛頓第三定律知，小球在A、B兩點(diǎn)時(shí)對(duì)圓環(huán)的壓力差為4mg，故C正確．
D、小球從A到C的過(guò)程中，根據(jù)功能原理可知，彈簧對(duì)小球做的功等于小球機(jī)械能的增加量．故D正確．
故選：CD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚小球的受力情況，判斷能量的轉(zhuǎn)化情況，要抓住小球通過(guò)A和B兩點(diǎn)時(shí)，彈簧的形變量相等，彈簧的彈性勢(shì)能相等．