Question

19．如圖所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平x軸下方存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直xOy平面向里，電場(chǎng)線平行于y軸．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點(diǎn)水平向右拋出，經(jīng)x軸上的M點(diǎn)進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)，恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從x軸上的N點(diǎn)第一次離開復(fù)合場(chǎng)區(qū)，MN之間的距離為L，小球過M點(diǎn)時(shí)的速度方向與x軸夾角為θ．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向；
（2）小球從A點(diǎn)拋出時(shí)初速度v₀的大小；
（3）A點(diǎn)到x軸的高度h．

Answer 1

分析 小球從A到M做平拋運(yùn)動(dòng)，從M到N做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明重力與電場(chǎng)力平衡，洛倫茲力提供向心力．由幾何知識(shí)求得半徑，進(jìn)而求出速度，并機(jī)械能守恒定律求出A點(diǎn)到x軸的高度h．

解答 解：（1）小球在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中恰能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明電場(chǎng)力和重力平衡，有
 qE=mg，得到E=$\frac{mg}{q}$，電強(qiáng)度方向豎直向上                  
（2）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，O′為圓心，MN為弦長，∠MO′P=θ，
如圖所示．設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知$\frac{L}{2r}=sinθ$
設(shè)小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v，有$Bqv=\frac{m{v}^{2}}{r}$
由速度的合成與分解知$\frac{{v}_{0}}{v}=cosθ$
得：${v}_{0}=\frac{qBL}{2mtanθ}$
（3）設(shè)小球到M點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為v_y，v_y=v₀tanθ
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律${{v}_{y}}^{2}=2gh$
得$h=\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{mg}{q}$，電強(qiáng)度方向豎直向上；
（2）小球從A點(diǎn)拋出時(shí)初速度v₀的大小為$\frac{qBL}{2mtanθ}$；
（3）A點(diǎn)到x軸的高度h為$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{8{m}^{2}g}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題，磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)處理的基本方法是畫軌跡，重力場(chǎng)中也可運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解．